DM 1°S: Le plus petit triangle.

[Anonyme]

Soit t un réel appartenant à l'intervalle ]0;1[. M est le point d'abscisse t
de la parabole d'équation: y=1-x²
La tangente en M à la parabole coupe l'axe des abscisse en A et l'axe des
ordonnées en B.
Determiner t pour que l'aire tu triangle OAB soit minimale.

Rediger une solution en établissant les resultats intermediaire suivants:
*les coordonnées de A sont ((t/2)+(1/2t),0) et celles de B:(0,t²+1)

*On cherche le minimum d'une fonction dont la derivée fait intervenir le
signe de P(t)= 3t^4+2t²-1; on pourra cherche ne factorisation de P(t) pour
en etudier le signe.

[Anonyme]

On Sun, 09 Jan 2005 10:27:22 +0100, Bengiskhan wrote:

> Rediger une solution en établissant les resultats intermediaire suivants:
> *les coordonnées de A sont ((t/2)+(1/2t),0) et celles de B:(0,t²+1)

- Poser f : x -> 1-x^2
- Montrer que f est dérivable et calculer f'(x).
- Donner une équation de la tangente T au graphe de f au point
M(t;f(t)).
- En écrivant que A appartient à l'intersection (0y) et T, retrouver
le coordonnées de A
- Faire de même avec B
- Exprimer les distances euclidiennes OA et OB.
- Quelle est l'aire du triangle OAB en fonction de OA et OB ? en fonction
de t en vérifiant qu'on peut se restreindre à prendre t positif ?

> *On cherche le minimum d'une fonction dont la derivée fait intervenir
> le signe de P(t)= 3t^4+2t²-1; on pourra cherche ne factorisation de
> P(t) pour en etudier le signe.

- Montrer que A est dérivable et que l'étude de la dérivée de A se
ramèner à celle de P
- Poser T = t^2 et annuler P(T). P(t) est nul pour quelles valeurs de t ?
- A est-il minimal pour chacune de ces valeurs de t ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Equation de la tangente en M (t, f(t))
y = f'(t) (x-t) + f(t)
y = -2t (x-t) + 1-t^2
y = -2t.x + t^2+1

* Coordonnées de A:
systeme a resoudre:
y = -2t.x + t^2+1 et y=0 ce qui donne : x= (1+t^2)/2t et y=0 ce qui repond a
la question: A ((t/2)+(1/2t),0

* Coordonnées de B:
systeme a resoudre:
y = -2t.x + t^2+1 et x=0 ce qui donne : y=t^2 +1
ce qui repond a la question: B(0,t²+1)

------------------------------------------------
Seconde partie:
Posons A(t) = Air de OAB = OA*OB / 2
A(t)= (1+t^2)/2t * (t^2 +1 ) = (t^2 +1 )^2 / 2t
A'(t)= {3t^4+2t²-1}/2t^2=P(t)/2t^2
P(t)= 3t^4+2t²-1
Posons z=t^2, z appartient a ]0;1[ .
P(z)= 3z^2+2z-1=(z+1)(3z-1)
Signe de P(z): posif si z 1/3, negatif entre les 2.
z=-1 NON
z=1/3 ==> t = 1/racin(3)

Signe de A'(t) sur ]0;1[:
A'(t) negatif sur ]0, 1/racin(3)[
A'(t) positif sur ]1/racin(3), 1[
A'(1/racin(3))=0

On conclut que A(t) admet un minimum en t=1/racin(3).

Bonne Continuation.








"Bengiskhan" wrote in message
news:41e0f963$0$7725$636a15ce@news.free.fr...
> Soit t un réel appartenant à l'intervalle ]0;1[. M est le point d'abscisse
> t
> de la parabole d'équation: y=1-x²
> La tangente en M à la parabole coupe l'axe des abscisse en A et l'axe des
> ordonnées en B.
> Determiner t pour que l'aire tu triangle OAB soit minimale.
>
> Rediger une solution en établissant les resultats intermediaire suivants:
> *les coordonnées de A sont ((t/2)+(1/2t),0) et celles de B:(0,t²+1)
>
> *On cherche le minimum d'une fonction dont la derivée fait intervenir le
> signe de P(t)= 3t^4+2t²-1; on pourra cherche ne factorisation de P(t) pour
> en etudier le signe.
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