Periodicité irrationnelle

[Anonyme]

Bonjour,

Soit f une fonction de R dans R continue qui admet deux periodes n et p, telles
que n soit un entier et p un irrationnel. Que dire de f?

Déjà les fonctions constantes marchent. Est ce que la réciproque est vérifiée?
Comment montrer que f est constante?(dur je crois)

merci

[Anonyme]

Salut

> Soit f une fonction de R dans R continue qui admet deux periodes n et p,
telles
> que n soit un entier et p un irrationnel. Que dire de f?
>
> Déjà les fonctions constantes marchent. Est ce que la réciproque est
vérifiée?
> Comment montrer que f est constante?(dur je crois)
>

p irrationnel et le mot "continu" apparaît dans l'énoncé, un seul
automatisme à avoir: densité de pZ+Z dans R.
En réfléchissant un peu maintenant ça donne: pour tous entiers u,v,
f(0) = f(u*n*p) = f(u*n*p+v*n) = f(n*(u*p+v)). Mais on sait la densité de
Zp+Z dans R, et donc la densité de n*(Zp+Z) dans R à n période entière
fixée. f est donc constante sur un ensemble dense dans R et continue, donc
constante.

C'est en utilisant cette densité qu'on montre d'ailleurs que si l'entier
naturel x n'est pas une puissance de 10, alors pour n'importe quelle suite
finie de chiffres a1...an il existe une puissance de x dont l'écriture
décimale commencera par cette suite de chiffres.

@+

--
Julien Santini

[Anonyme]

> finie de chiffres a1...an il existe une puissance de x dont l'écriture
> décimale commencera par cette suite de chiffres.

Une puissance entière j'entends, of course ...

[Anonyme]

> Soit f une fonction de R dans R continue qui admet deux periodes n et p, telles
> que n soit un entier et p un irrationnel. Que dire de f?
>
> Déjà les fonctions constantes marchent. Est ce que la réciproque est vérifiée?
> Comment montrer que f est constante?(dur je crois)

Une tentative :

f est constante sur nZ + pZ qui est une sous-groupe de IR,+. Ce
sous-groupe ne peut pas être de la forme aZ il est donc dense (classique).
Ménant une fonction continue constante sur une partie dense est
constante (classicoci).