PCEM1 / Equation différentielle

[Anonyme]

Bonjour tout le monde,

j'ai quelques exercices que je n'arrive pas à faire:

Exercice 1:

La population d'un pays est régie par l'équation différentielle:
dN= -Re^(£t)N dt

Des études démographiques ont permis de déterminer £ = 0,075/an et R= 0,
0002/ an
Calculer l'espérance de vie de la population correspondant au temps t auquel
N= No/2, étant la population à t=0

donc j'ai fait : dN/N = -Re^(£t)dt et donc j'ai fait la primitive mais ça me
donne une équation très compliquée avec des puissance d'exponentielle et je
n'arrive pas à faire plus simple

Exercice 2:

Une solution d'un produit radioactif a une activité Ao= 32MBq à 16h.
Quelle sera son activité le lendemain à 10H sachant que l'équation
différentielle de désintégration est dA= -A£dt
où £ =ln2/6 par heure

ici j'ai utilisé A= Aoe^(-£t) donc j'ai remplacé avec les données mais je
dois trouver 4MBq et je trouve pas du tout la même réponse alors est ce que
j'ai mal remplacé ou est ce que A= Aoe^(-£t) est faux???

Merci d'avance
Caroline

[Anonyme]

salut

"jk" a écrit dans le message de news:
41e53b9c$0$25526$79c14f64@nan-newsreader-05.noos.net...
> Bonjour tout le monde,
>
> j'ai quelques exercices que je n'arrive pas à faire:
>
> Exercice 1:
>
> La population d'un pays est régie par l'équation différentielle:
> dN= -Re^(£t)N dt
>
> Des études démographiques ont permis de déterminer £ = 0,075/an et R= 0,
> 0002/ an
> Calculer l'espérance de vie de la population correspondant au temps t
> auquel
> N= No/2, étant la population à t=0
>
> donc j'ai fait : dN/N = -Re^(£t)dt et donc j'ai fait la primitive mais ça
> me
> donne une équation très compliquée avec des puissance d'exponentielle et
> je
> n'arrive pas à faire plus simple

pourtant c'est ça :
dN/N=-R*exp(£t)*dt
=> ln(N)=-R*exp(£t)/£+K
K constante arbitraire

à t=0, on a N qui vaut No donc : ln(No)=-R/£+K

tu cherches la valeur de t pour N=No/2 donc :
ln(No/2)=-R*exp(£t)/£+K
or ln(No/2)=ln(No)-ln(2)=-R/£+K
en remettant tout ça dans l'ordre, tu obtiens :
exp(£t)=1+£/R*ln(2)
soit : t=1/£*ln(1+£/R*ln(2)) ce qui donne numériquement une valeur
approximative de 74 ans

> Exercice 2:
>
> Une solution d'un produit radioactif a une activité Ao= 32MBq à 16h.
> Quelle sera son activité le lendemain à 10H sachant que l'équation
> différentielle de désintégration est dA= -A£dt
> où £ =ln2/6 par heure
>
> ici j'ai utilisé A= Aoe^(-£t) donc j'ai remplacé avec les données mais je
> dois trouver 4MBq et je trouve pas du tout la même réponse alors est ce
> que
> j'ai mal remplacé ou est ce que A= Aoe^(-£t) est faux???

ta formule est juste mais tu dois faire une translation de ton paramètre t !
je m'explique : A=Ao*exp(-£t) donne Ao pour t=0 et donc à 16H
pour savoir l'activité le lendemain à 10H, il s'est écoulé 18H depuis le 16H
de la veille, donc t=18
et en applicant Ao=32, £=ln(2)/6 et t=18 on trouve en effet 4MBq !

> Merci d'avance
> Caroline

de rien
toujours un plaisir d'aider une pauvre P1 !!!
A+

Lolo

[Anonyme]

merciii !!!!!
oui pauvre petite P1 qui s'acharne sur ses exercices .

Caroline

[Anonyme]

jk a écrit :

> Bonjour tout le monde,

Bonjour,
Par curiosité, PCEM1, c'est *quoi* comme niveau ?

> Exercice 1:
[...]
> donc j'ai fait : dN/N = -Re^(£t)dt et donc j'ai fait la primitive mais ça me
> donne une équation très compliquée avec des puissance d'exponentielle et je
> n'arrive pas à faire plus simple

C'est parce que tu n'as pas l'habitude de mettre ce genre de fonctions
sous leur forme « simple ». Après avoir intégré il y a toujours des
conditions aux limites qui vont déterminer les constantes
d'intégrations. Ici, tu te retrouves avec une forme de type :
ln(N) = A.exp(B.t) + K
Or on sait qu'à t=0, N=No, c'est à dire ln(N/No)=0. Ca amène typiquement
à considérer l'expression :
ln(N/No) = (-R/£).(e^(£t)-1)
Tu peux vérifier que c'est de la même forme que précédemment, et que ça
vérifie bien les CL. Par ailleurs, cette forme est satisfaisante, il ne
faut pas exprimer directement N(t).
À ce stade, je pense que tu peux conclure en utilisant cette expression ...

> Exercice 2:
[...]
> ici j'ai utilisé A= Aoe^(-£t) donc j'ai remplacé avec les données mais je
> dois trouver 4MBq et je trouve pas du tout la même réponse alors est ce que
> j'ai mal remplacé ou est ce que A= Aoe^(-£t) est faux???

L'équation est bonne.
En remplaçant, je trouve d'ailleurs bien 4MBq.
Tu as bien mis la bonne valeur en heure ?

RM.