Partie mesurable de R

[Anonyme]

Bonjour

Il y a un truc que je trouve curieux : la fonction caractéristique des
rationnels de [0, 1] est discontinue en tout point de [0, 1]. L'ensemble des
points de discontinuité est donc non dénombrable. Or l'image de la fonction
est dénombrable puisque c'est une partie de Q. Il y a donc plus de points de
discontinuité que de points dans l'image...


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Wed, 19 Nov 2003 16:06:44 +0100,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:

> Il y a un truc que je trouve curieux : la fonction caractéristique des
> rationnels de [0, 1] est discontinue en tout point de [0, 1]. L'ensemble des
> points de discontinuité est donc non dénombrable. Or l'image de la fonction
> est dénombrable puisque c'est une partie de Q. Il y a donc plus de points de
> discontinuité que de points dans l'image...

Il n'y a pas de lien. Les points de discontinuité sont dans l'ensemble
de départ et les points dans l'image sont dans l'ensemble d'arrivée.

--
Nicolas

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:
> Il y a un truc que je trouve curieux : la fonction caractéristique des
> rationnels de [0, 1] est discontinue en tout point de [0, 1]. L'ensemble des
> points de discontinuité est donc non dénombrable. Or l'image de la fonction
> est dénombrable puisque c'est une partie de Q. Il y a donc plus de points de
> discontinuité que de points dans l'image...

Les points de discontinuité sont dans l'ensemble de départ et les points images
dans l'ensemble d'arrivée.....
Avec une fonction aussi moche que la fonction caractéristique des rationnels de
(0,1], aucune raison qu'il y ait un rapport entre tout ça.

[Anonyme]

Merci à tous deux.

Il y a une autre chose qui m'intrigue. Soit f une fonction définie sur [0,
1] dont l'ensemble des points de dicontinuités est infini mais dénombrable.
On peut donc le noter {x_n} pour n parcourant IN. Alors peut-on dire que f
est continue dans tout intervalle ]x_i, x_(i+1)[ et appliquer tous les
théorèmes que l'on connaît sur les fonctions continues ? Prolongement par
continuité, etc...

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:
> Soit f une fonction définie sur [0,
> 1] dont l'ensemble des points de dicontinuités est infini mais dénombrable.
> On peut donc le noter {x_n} pour n parcourant IN. Alors peut-on dire que f
> est continue dans tout intervalle ]x_i, x_(i+1)[ et appliquer tous les
> théorèmes que l'on connaît sur les fonctions continues ? Prolongement par
> continuité, etc...

Seulement si tu peux effectivement les ranger dans l'ordre croissant.
Essaie donc de ranger les rationnels de [0,1] dans l'ordre croissant..Le
problème est qu'il y'a AUSSI densité, donc tout ]x_i, x_(i+1)[ contient un
autre x_j ....

Si tu peux ranger les points de discontinuité dans l'ordre croissant, alors oui,
tu peux tout appliquer ensuite...

[Anonyme]

Osiris
> Seulement si tu peux effectivement les ranger
> dans l'ordre croissant. Essaie donc de ranger
> les rationnels de [0,1] dans l'ordre croissant..Le
> problème est qu'il y'a AUSSI densité, donc tout
> ]x_i, x_(i+1)[ contient un autre x_j ....
> Si tu peux ranger les points de discontinuité dans
> l'ordre croissant, alors oui, tu peux tout appliquer ensuite...

OK je te remercie.

Je ne parlais pas de la fonction caractéristique des
rationnels de [0, 1] dont on sait que l'ensemble des
points de discontinuité est [0, 1], donc non dénombrable.

Je parlais d'une fonction (bien connue) définie sur [0, 1]
continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.
Puisque l'ensemble D des irrationnels de [0, 1] est
dénombrable, il existe une surjection de IN sur D par
conséquent on peut les classer par ordre croissant ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:
> Puisque l'ensemble D des rationnels de [0, 1] est
> dénombrable, il existe une surjection de IN sur D par
> conséquent on peut les classer par ordre croissant ?

NON .
Supposons qu'on puisse classer les rationnels de [0,1] dans l'ordre croissant.
Alors, les intervalles ]x_i, x_(i+1) [ ne contiennet pas de rationnels.
Ce qui contredit la densit édes rationnels dans [0,1].
Je pense qu'un ensemble dénombrable peut être "ordonné" (dans le sens commun)
s'il est par exemple discret (comme Z )

[Anonyme]

Osiris , dans le message (fr.education.entraide.maths:51158), a écrit :
> Je pense qu'un ensemble dénombrable peut être "ordonné" (dans le sens
> commun) s'il est par exemple discret (comme Z)

Là, on va bientôt parler d'ordinaux

--
Xavier, qui laisse quelqu'un d'autre le faire pour une fois, tiens.

[Anonyme]

Osiris a > NON .
> Supposons qu'on puisse classer les rationnels de [0,1]
> dans l'ordre croissant. Alors, les intervalles ]x_i, x_(i+1) [
> ne contiennet pas de rationnels. Ce qui contredit la densité
> des rationnels dans [0,1].
> Je pense qu'un ensemble dénombrable peut être "ordonné"
> (dans le sens commun) s'il est par exemple discret (comme Z )

Ce que tu me dis là est inquiétant pour moi car, sauf erreur
de ma part, cela montre qu'une démonstration d'un théorème
donnée par mon prof serait fausse. Voici l'objet du délit ...
_______________

Théorème :
Soit I un segment de R. La limite uniforme d'une suite de fonctions
continues par morceaux sur I et intégrable (au sens de Riemamn).
_______________

Preuve :
Soit f_n une suite de fonctions continues par morceaux définies
sur I, de limite f et soit D_n l'ensemble des points de discontinuité
de f_n.

Chaque f_n est donc continue sur I \ D_n.

Posons : D = réunion des D_n pour n parcourant N.

Puisque chaque D_n est fini, D est au plus dénombrable.

De plus, chaque f_n est continue sur I \ D et (f_n) converge
uniformément sur I \ D vers la restriction de f à I \ D.


La limite uniforme d'une suite de fonctions continues étant
continue f est donc continue sur I \ D.

Cela prouve que l'ensemble des points de discontinuités de
f est dénombrable, donc que f est intégrable.
_______________

Je t'ai mis la preuve en entier, mais le point qui me paraît
litigieux, d'après ce que tu m'as dit, c'est qu'on utilise dans
cette démo un théorème qui dit que "la limite uniforme d'une
suite de fonctions continues est continue".

Or je crois que ce théorème est vrai seulement si la suite
de fonctions est définie sur un intervalle, c'est en tous cas
le souvenir que j'en ai. Ce qui sous-entend que I \ D est
vu ici comme une réunion d'intervalles ouverts. Or D
pourraît être, pourquoi pas, l'ensemble des rationnels de I.

Je sais il y a beaucoup de lecture... Mais si tu povais me dire
ce que tu en penses, cela me rendrait service.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Non, dans ton cas, tu as des fonctions continues par morceaux....
il me SEMBLE qu eça veuille dire que sur tout compct, l'ensemble des points de
discontinuité soit FINI .

[Anonyme]

"Xavier Caruso" a écrit dans le message de
news:bphr5p$1gfk$1@nef.ens.fr...
> Osiris , dans le message (fr.education.entraide.maths:51158), a écrit :[color=green]
> > Je pense qu'un ensemble dénombrable peut être "ordonné" (dans le sens
> > commun) s'il est par exemple discret (comme Z)
>
> Là, on va bientôt parler d'ordinaux [/color]

tien ça me dit quelque chose

[Anonyme]

> Or je crois que ce théorème est vrai seulement si la suite
> de fonctions est définie sur un intervalle, c'est en tous cas
> le souvenir que j'en ai. Ce qui sous-entend que I \ D est
> vu ici comme une réunion d'intervalles ouverts. Or D
> pourraît être, pourquoi pas, l'ensemble des rationnels de I.
>
> Je sais il y a beaucoup de lecture... Mais si tu povais me dire
> ce que tu en penses, cela me rendrait service.
>
En fait si une suite de fonctions definies sur un intervalle I toutes
continues en un x0 particulier de I convergent uniformément sur l'intervalle
I vers g, alors g est continue en x0.