Bonjour,
Qu'appelle-t-on partie fermée du plan ?
(dans une question il s'agit de montrer qu'une
"trajectoire est une partie fermée du plan")
Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Partie fermee du plan
19 messages
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[MPSI] Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
> Qu'appelle-t-on partie fermée du plan ?
J'oubliais,
niveau MPSI et avec le moins de détails topologiques si possible.
Merci encore.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
J'oubliais,
niveau MPSI et avec le moins de détails topologiques si possible.
Merci encore.
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Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Michel , dans le message (fr.education.entraide.maths:53797), a écrit :
> Bonjour,
>
> Qu'appelle-t-on partie fermée du plan ?
C'est par définition le complémentaire d'une partie ouverte. Une partie
ouverte c'est une partie U telle que pour tout x dans U, il existe une
boule de centre x et de rayon strictement positif entièrement incluse
dans U.
Par exemple, il n'est pas difficile de prouver que les boules ouvertes
sont des ouverts, et les boules fermées des fermés.
Il y a une caractérisation assez agréable des fermés : F est un fermé
(du plan) ssi toute suite convergeante d'éléments de F a sa limite dans
F.
> Bonjour,
>
> Qu'appelle-t-on partie fermée du plan ?
C'est par définition le complémentaire d'une partie ouverte. Une partie
ouverte c'est une partie U telle que pour tout x dans U, il existe une
boule de centre x et de rayon strictement positif entièrement incluse
dans U.
Par exemple, il n'est pas difficile de prouver que les boules ouvertes
sont des ouverts, et les boules fermées des fermés.
Il y a une caractérisation assez agréable des fermés : F est un fermé
(du plan) ssi toute suite convergeante d'éléments de F a sa limite dans
F.
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Bonjour,
Xavier Caruso :
> C'est par définition le complémentaire d'une partie ouverte.
Dans mon cas, dans le plan, j'ai un polygône régulier,
est-ce une partie fermée ?
Avec la première définition, il faut montrer que dans le
complémentaire E du polygône P dans le plan,
qqs M dans E, il existe r>0 tq le cercle C(M,r) est dans E.
donc...
qqs M dans E, soit d(M,P) le minimum de la distance du point M à un
côté de P, d(M,P)>0, on peut prendre n'importe quel r dans ]0;d[,
et le cercle C(M,r) sera bien dans E.
Donc c'est bon, mon machin est fermé ?
Dans ce cas pleins de trucs sont fermés dans le plan ?
Il suffit par exemple de prendre une figure finie.
Question 2.b, http://perso.wanadoo.fr/bouju/sujets/x98pc2.pdf
La question est débile ou j'ai fait une erreur ?
Pour la deuxième définition/caractérisation je ne sais pas trop
quoi en faire.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Xavier Caruso :
> C'est par définition le complémentaire d'une partie ouverte.
Dans mon cas, dans le plan, j'ai un polygône régulier,
est-ce une partie fermée ?
Avec la première définition, il faut montrer que dans le
complémentaire E du polygône P dans le plan,
qqs M dans E, il existe r>0 tq le cercle C(M,r) est dans E.
donc...
qqs M dans E, soit d(M,P) le minimum de la distance du point M à un
côté de P, d(M,P)>0, on peut prendre n'importe quel r dans ]0;d[,
et le cercle C(M,r) sera bien dans E.
Donc c'est bon, mon machin est fermé ?
Dans ce cas pleins de trucs sont fermés dans le plan ?
Il suffit par exemple de prendre une figure finie.
Question 2.b, http://perso.wanadoo.fr/bouju/sujets/x98pc2.pdf
La question est débile ou j'ai fait une erreur ?
Pour la deuxième définition/caractérisation je ne sais pas trop
quoi en faire.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Michel , dans le message (fr.education.entraide.maths:53800), a écrit :
> Dans mon cas, dans le plan, j'ai un polygône régulier,
> est-ce une partie fermée ?
« polygône », je suppose que ça veut dire que tu ne prends que le
contour et ni l'extérieur, ni l'intérieur. Dans ce cas là, oui.
> donc...
> qqs M dans E, soit d(M,P) le minimum de la distance du point M à un
> côté de P, d(M,P)>0, on peut prendre n'importe quel r dans ]0;d[,
> et le cercle C(M,r) sera bien dans E.
>
> Donc c'est bon, mon machin est fermé ?
Oui, mais en l'occurrence, le fait que la distance soit strictement
positive n'est pas quelque chose d'immédiat... enfin disons pas plus
immédiat que le truc soit fermé. Ëvidemment pour un polygône, tu peux
projeter, mais bon.
> Dans ce cas pleins de trucs sont fermés dans le plan ?
> Il suffit par exemple de prendre une figure finie.
Qu'appelles-tu « figure finie » ? Si c'est un nombre fini de points
alors oui... et d'ailleurs plus généralement, une union finie de fermés
est fermée. Si tu entends pas là bornée, alors non : prends l'intérieur
de ton polygône sans le bord, c'est pas fermé.
> Question 2.b, http://perso.wanadoo.fr/bouju/sujets/x98pc2.pdf
> La question est débile ou j'ai fait une erreur ?
Il y a quand même un petit truc à dire. Et à rédiger proprement, je
pense que le plus simple est d'utiliser que l'image continue d'un
compact est compact... qui pour le coup trivialise la question.
> Dans mon cas, dans le plan, j'ai un polygône régulier,
> est-ce une partie fermée ?
« polygône », je suppose que ça veut dire que tu ne prends que le
contour et ni l'extérieur, ni l'intérieur. Dans ce cas là, oui.
> donc...
> qqs M dans E, soit d(M,P) le minimum de la distance du point M à un
> côté de P, d(M,P)>0, on peut prendre n'importe quel r dans ]0;d[,
> et le cercle C(M,r) sera bien dans E.
>
> Donc c'est bon, mon machin est fermé ?
Oui, mais en l'occurrence, le fait que la distance soit strictement
positive n'est pas quelque chose d'immédiat... enfin disons pas plus
immédiat que le truc soit fermé. Ëvidemment pour un polygône, tu peux
projeter, mais bon.
> Dans ce cas pleins de trucs sont fermés dans le plan ?
> Il suffit par exemple de prendre une figure finie.
Qu'appelles-tu « figure finie » ? Si c'est un nombre fini de points
alors oui... et d'ailleurs plus généralement, une union finie de fermés
est fermée. Si tu entends pas là bornée, alors non : prends l'intérieur
de ton polygône sans le bord, c'est pas fermé.
> Question 2.b, http://perso.wanadoo.fr/bouju/sujets/x98pc2.pdf
> La question est débile ou j'ai fait une erreur ?
Il y a quand même un petit truc à dire. Et à rédiger proprement, je
pense que le plus simple est d'utiliser que l'image continue d'un
compact est compact... qui pour le coup trivialise la question.
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Xavier Caruso :
> Oui, mais en l'occurrence, le fait que la distance soit
> strictement positive n'est pas quelque chose d'immédiat...
Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le polygône,
mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas bon, non ?
> Si tu entends pas là bornée, alors non
D'accord, merci beaucoup.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
> Oui, mais en l'occurrence, le fait que la distance soit
> strictement positive n'est pas quelque chose d'immédiat...
Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le polygône,
mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas bon, non ?
> Si tu entends pas là bornée, alors non
D'accord, merci beaucoup.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
On 19 Feb 2004 12:10:24 GMT, Michel wrote:
>Xavier Caruso :
>[color=green]
>> Oui, mais en l'occurrence, le fait que la distance soit
>> strictement positive n'est pas quelque chose d'immédiat...
>
>Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le polygône,
>mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas bon, non ?[/color]
Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...
>Xavier Caruso :
>[color=green]
>> Oui, mais en l'occurrence, le fait que la distance soit
>> strictement positive n'est pas quelque chose d'immédiat...
>
>Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le polygône,
>mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas bon, non ?[/color]
Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Frederic :
[color=green]
>>Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le
>>polygône, mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas
>>bon, non ?
>
> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...[/color]
Ben là c'est des segments, donc ça marche...
--
Michel [overdose@alussinan.org]
[color=green]
>>Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le
>>polygône, mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas
>>bon, non ?
>
> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...[/color]
Ben là c'est des segments, donc ça marche...
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Michel :
[color=green]
>> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
>> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...
>
> Ben là c'est des segments, donc ça marche...[/color]
segments de droites.
(ton truc était pas un segment car à bornes ouvertes)
--
Michel [overdose@alussinan.org]
[color=green]
>> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
>> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...
>
> Ben là c'est des segments, donc ça marche...[/color]
segments de droites.
(ton truc était pas un segment car à bornes ouvertes)
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
On 19 Feb 2004 12:46:19 GMT, Michel wrote:
>Frederic :
>[color=green][color=darkred]
>>>Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le
>>>polygône, mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas
>>>bon, non ?
>>
>> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
>> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...[/color]
>
>Ben là c'est des segments, donc ça marche...[/color]
Moi, ce que j'appelle segment, c'est au sens large un sous-ensemble
connexe et borné d'une droite. Et le « donc ça marche » mérite
preuve, non ?
>Frederic :
>[color=green][color=darkred]
>>>Par l'absurde, si la distance était nulle, M serait sur le
>>>polygône, mais on l'avait pris dans le complémentaire, donc pas
>>>bon, non ?
>>
>> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
>> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...[/color]
>
>Ben là c'est des segments, donc ça marche...[/color]
Moi, ce que j'appelle segment, c'est au sens large un sous-ensemble
connexe et borné d'une droite. Et le « donc ça marche » mérite
preuve, non ?
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
On 19 Feb 2004 12:47:17 GMT, Michel wrote:
>Michel :
>[color=green][color=darkred]
>>> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
>>> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...
>>
>> Ben là c'est des segments, donc ça marche...[/color]
>
>segments de droites.
>(ton truc était pas un segment car à bornes ouvertes)[/color]
Cf plus haut ma définition de segment. Et il te faut, encore
une fois, raconter pourquoi ça marche.
>Michel :
>[color=green][color=darkred]
>>> Heu, non. Par exemple, le segment S = ]0;1[ x {0} et le point
>>> O = (0 ; 0). La distance de S à O est nulle, et pourtant...
>>
>> Ben là c'est des segments, donc ça marche...[/color]
>
>segments de droites.
>(ton truc était pas un segment car à bornes ouvertes)[/color]
Cf plus haut ma définition de segment. Et il te faut, encore
une fois, raconter pourquoi ça marche.
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:53817), a écrit :
> Moi, ce que j'appelle segment, c'est au sens large un sous-ensemble
> connexe et borné d'une droite.
Meuh ?
--
Xavier, qui rajoutais fermé en général justement
> Moi, ce que j'appelle segment, c'est au sens large un sous-ensemble
> connexe et borné d'une droite.
Meuh ?
--
Xavier, qui rajoutais fermé en général justement
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
On Thu, 19 Feb 2004 14:05:36 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:
>Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:53817), a écrit :[color=green]
>> Moi, ce que j'appelle segment, c'est au sens large un sous-ensemble
>> connexe et borné d'une droite.
>
>Meuh ?[/color]
Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
--
Frédéric, signature pour signature.
>Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:53817), a écrit :[color=green]
>> Moi, ce que j'appelle segment, c'est au sens large un sous-ensemble
>> connexe et borné d'une droite.
>
>Meuh ?[/color]
Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
--
Frédéric, signature pour signature.
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:53823), a écrit :
> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?
> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
On Thu, 19 Feb 2004 15:47:43 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:[color=green]
>> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
>
>Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?[/color]
Oui. J'ai bon ?
--
Frédéric, qui en rajoute une couche...
>> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
>
>Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?[/color]
Oui. J'ai bon ?
--
Frédéric, qui en rajoute une couche...
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:47
Michel :
> Ben là c'est des segments, donc ça marche...
Bon ok, j'ai vu ma bourde.
P un polygône régulier à n côtés, non réduit à un point.
E le complémentaire de P dans le plan.
On numérote les côtés de P.
Soit M \in P, notons d_i la distance de M au i-ème côté de P,
i \in {1,2,...,n}
Si il existe i0 tel d_i0 = 0, alors il est unique, sinon M est un
sommet de P, en effet M appartiendrait à l'intersection de 2 droites
prolongeant les côtés concernés.
En prenant u = min{d_i, ii0}, le disque de centre M et de rayon r
dans ]0;u[ est bien inclus dans E, qui est donc ouvert.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
> Ben là c'est des segments, donc ça marche...
Bon ok, j'ai vu ma bourde.
P un polygône régulier à n côtés, non réduit à un point.
E le complémentaire de P dans le plan.
On numérote les côtés de P.
Soit M \in P, notons d_i la distance de M au i-ème côté de P,
i \in {1,2,...,n}
Si il existe i0 tel d_i0 = 0, alors il est unique, sinon M est un
sommet de P, en effet M appartiendrait à l'intersection de 2 droites
prolongeant les côtés concernés.
En prenant u = min{d_i, ii0}, le disque de centre M et de rayon r
dans ]0;u[ est bien inclus dans E, qui est donc ouvert.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:48
Frederic wrote in message :
> On Thu, 19 Feb 2004 15:47:43 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:[color=green][color=darkred]
>>> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
>>
>>Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?[/color]
>
> Oui. J'ai bon ?[/color]
En tous cas, c'est contraire à l'usage. Rappelle-toi des chapitres du
genre 'intégration sur un segment'...
--
Yann
> On Thu, 19 Feb 2004 15:47:43 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:[color=green][color=darkred]
>>> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
>>
>>Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?[/color]
>
> Oui. J'ai bon ?[/color]
En tous cas, c'est contraire à l'usage. Rappelle-toi des chapitres du
genre 'intégration sur un segment'...
--
Yann
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:48
On Fri, 20 Feb 2004 14:28:13 +0000 (UTC), Yann Villessuzanne wrote:[color=green]
>> On Thu, 19 Feb 2004 15:47:43, Xavier Caruso wrote:[color=darkred]
>>>> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
>>>Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?
>> Oui. J'ai bon ?[/color]
>En tous cas, c'est contraire à l'usage. Rappelle-toi des chapitres du
>genre 'intégration sur un segment'...[/color]
Il me semble, sans que j'en suis totalement certain, que dans mon
cours de prépa le mot « compact » trainait dans le titre du
chapitre en question...
>> On Thu, 19 Feb 2004 15:47:43, Xavier Caruso wrote:[color=darkred]
>>>> Y a-t'il quelquechose qui te choque ?
>>>Ben ]0,1[, c'est un segment pour toi, ou pas ?
>> Oui. J'ai bon ?[/color]
>En tous cas, c'est contraire à l'usage. Rappelle-toi des chapitres du
>genre 'intégration sur un segment'...[/color]
Il me semble, sans que j'en suis totalement certain, que dans mon
cours de prépa le mot « compact » trainait dans le titre du
chapitre en question...
Re: Partie fermee du plan
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:48
Michel a écrit
> (dans une question il s'agit de montrer qu'une
> "trajectoire est une partie fermée du plan")
A condition que la trajectoire soit définie par une
fonction continue.
Si M = (x,y) est un point de IR² et si F : IR --> IR²
est une courbe paramétrée, que l'on note x = f(t)
et y = g(t) alors la courbe décrite par M est F^(-1)(IR)
Si F est continue, cet ensemble est fermé (car IR est
fermé et l'image réciproque d'un fermé par une
application continue est un fermé).
Il suffit en particulier que les applications partielles f
et g soient continues
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> (dans une question il s'agit de montrer qu'une
> "trajectoire est une partie fermée du plan")
A condition que la trajectoire soit définie par une
fonction continue.
Si M = (x,y) est un point de IR² et si F : IR --> IR²
est une courbe paramétrée, que l'on note x = f(t)
et y = g(t) alors la courbe décrite par M est F^(-1)(IR)
Si F est continue, cet ensemble est fermé (car IR est
fermé et l'image réciproque d'un fermé par une
application continue est un fermé).
Il suffit en particulier que les applications partielles f
et g soient continues
--
Pierre
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