Particularité sur les DL qui m'intrigue

[Anonyme]

Au début, j'allais le mettre sous forme de question, mais j'ai trouvé ma
réponse tout seul, alors je fais juste part de mon amusement.

On a x proche de 0 et on cherche n tel que (1+x)^n = 2

Si on fait le DL à l'ordre 1 de (1+x)^n, on obtient:
1 + nx = 2, ce qui donne n = 1/x

Si on passe par le ln, on obtient:
n ln(1+x) = ln(2)
En faisant le DL a l'ordre 1, on trouve
nx = ln(2)
n = ln(2)/x

Je suppose que la différence vient du fait que dans le premier cas, on
néglige des termes en (nx)^k et que dans le deuxième cas, on néglige
des termes en nx^k, mais je trouve ça amusant comment une simple
transformation permet d'aboutir à deux approximations différentes,
chacune valable dans un domaine particulier.

Voilà, c'est tout.

--
Nicolas

[Anonyme]

"Nicolas Le Roux" a écrit dans le message de news:
slrnd146rq.teh.nicolas@lknn.iro.umontreal.ca...
> Au début, j'allais le mettre sous forme de question, mais j'ai trouvé ma
> réponse tout seul, alors je fais juste part de mon amusement.
>
> On a x proche de 0 et on cherche n tel que (1+x)^n = 2
>
> Si on fait le DL à l'ordre 1 de (1+x)^n, on obtient:
> 1 + nx = 2, ce qui donne n = 1/x
>
> Si on passe par le ln, on obtient:
> n ln(1+x) = ln(2)
> En faisant le DL a l'ordre 1, on trouve
> nx = ln(2)
> n = ln(2)/x
>
> Je suppose que la différence vient du fait que dans le premier cas, on
> néglige des termes en (nx)^k et que dans le deuxième cas, on néglige
> des termes en nx^k, mais je trouve ça amusant comment une simple
> transformation permet d'aboutir à deux approximations différentes,
> chacune valable dans un domaine particulier.
>
> Voilà, c'est tout.
>
> --
> Nicolas

La deuxième approximation est bien plus précise : il suffit de calculer la
limite quand x->0 de (1+x)^(1/x) (e)

(1+x)^(ln(2)/x) (2)

Par contre je ne vois pas du tout de quels domaines particuliers tu parles.