Orthonormalisation et produits scalaires

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai une base canonique
e = = {e0,e1,e2,e3} = {1,x,x^2,x^3},
et un produit scalaire défini par
a(f,g) = int((0,1],f"(x)*g"(x) dx).

Je dois orhonormaliser (Gram-Schmidt) cette base en utilisant ce produit
scalaire.
Le soucis est que pour (1,1) et (x,x), ce produit scalaire est nul.

Par exemple, pour e0, je dois théoriquement calculer, lors de la
normalisation:
e0* = e0 / ||e0||
Mais le dénominateur se révèle nul...

Comment procéder, dans ce cas là ??

Merci.

[Anonyme]

> J'ai une base canonique
> e = = {e0,e1,e2,e3} = {1,x,x^2,x^3},
> et un produit scalaire défini par
> a(f,g) = int((0,1],f"(x)*g"(x) dx).
>
> Je dois orhonormaliser (Gram-Schmidt) cette base en utilisant ce produit
> scalaire.
> Le soucis est que pour (1,1) et (x,x), ce produit scalaire est nul.
>
> Par exemple, pour e0, je dois théoriquement calculer, lors de la
> normalisation:
> e0* = e0 / ||e0||
> Mais le dénominateur se révèle nul...
>
> Comment procéder, dans ce cas là ??

En se disant qu'il doit y avoir une erreur dans l'énoncé!

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit :
[color=green]
>>Comment procéder, dans ce cas là ??
>
> En se disant qu'il doit y avoir une erreur dans l'énoncé![/color]

Je ne pense pas, car l'exercice suivant a le même genre de produit
scalaire, sauf qu'au lieu d'avoir dans l'intégrande un produit de
dérivées secondes, il y a un produit de dérivées premières.

Cela dit, c'est moi qui ai choisi la base canonique telle quelle.
Je sais seulement que je dois trouver un polynôme de degré inférieur ou
égal à 3. Peut-être dois-je me restreindre à la base {x^2,x^3}, du fait
de ce problème. Ca me paraît bizarre, mais pourquoi pas ?

[Anonyme]

> Je ne pense pas, car l'exercice suivant a le même genre de produit
> scalaire, sauf qu'au lieu d'avoir dans l'intégrande un produit de dérivées
> secondes, il y a un produit de dérivées premières.
>
> Cela dit, c'est moi qui ai choisi la base canonique telle quelle.
> Je sais seulement que je dois trouver un polynôme de degré inférieur ou
> égal à 3. Peut-être dois-je me restreindre à la base {x^2,x^3}, du fait de
> ce problème. Ca me paraît bizarre, mais pourquoi pas ?

Si on a des conditions en plus, du genre des polynômes nuls en 0 et 1, alors
ton intégrale avec les dérivées secondes est bien un produit scalaire, mais
les vectuers 1, x, x^2 et x^3 ne sont pas dedans.
Commence par bien écrire quel est l'espace vectoriel pour être sûr que les
vecteurs qu'on te dit en être une base sont bien dedans...

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit :[color=green]
>>Je ne pense pas, car l'exercice suivant a le même genre de produit
>>scalaire, sauf qu'au lieu d'avoir dans l'intégrande un produit de dérivées
>>secondes, il y a un produit de dérivées premières.
>>
>>Cela dit, c'est moi qui ai choisi la base canonique telle quelle.
>>Je sais seulement que je dois trouver un polynôme de degré inférieur ou
>>égal à 3. Peut-être dois-je me restreindre à la base {x^2,x^3}, du fait de
>>ce problème. Ca me paraît bizarre, mais pourquoi pas ?
>
>
> Si on a des conditions en plus, du genre des polynômes nuls en 0 et 1, alors
> ton intégrale avec les dérivées secondes est bien un produit scalaire, mais
> les vectuers 1, x, x^2 et x^3 ne sont pas dedans.
> Commence par bien écrire quel est l'espace vectoriel pour être sûr que les
> vecteurs qu'on te dit en être une base sont bien dedans...[/color]

"On considère l'espace vectoriel E des fonctions continues, à dérivées
premières et secondes continues sur [0,1], et nulles, ainsi que leur
dérivée première au point 0, donc telles que f(0)=0 et f'(0)=0.

1) Montrer que la forme bilinéaire symétrique
/1
|
a(f,g) = | f"(x) * g"(x) dx
|
/0
est un produti scalaire sur E.

* C'est fait *


2) Soit F le sous-espae de E formé des polynômes de degré <=4 et
appartenant à E. Donner la dimension de F et une base de F déduite de la
base canonique des polynômes.

Si tu me dis que 1, x, x^2 et x^3 ne sont pas dedans, que puis-je
prendre ? Parce que c'est tout ce que m'inspire l'expression "base
canonique"...

[Anonyme]

On Wed, 16 Feb 2005 15:58:56 +0100, Oodini
wrote:


>"On considère l'espace vectoriel E des fonctions continues, à dérivées
>premières et secondes continues sur [0,1], et nulles, ainsi que leur
>dérivée première au point 0, donc telles que f(0)=0 et f'(0)=0.
>
>1) Montrer que la forme bilinéaire symétrique
> /1
> |
>a(f,g) = | f"(x) * g"(x) dx
> |
> /0
>est un produti scalaire sur E.
>
>* C'est fait *
>
>
>2) Soit F le sous-espae de E formé des polynômes de degré appartenant à E. Donner la dimension de F et une base de F déduite de la
>base canonique des polynômes.
>
>Si tu me dis que 1, x, x^2 et x^3 ne sont pas dedans, que puis-je
>prendre ? Parce que c'est tout ce que m'inspire l'expression "base
>canonique"...
il faut bien lire la question
F sev de E
faut chercher les poly P de d°<=4
tels que P(0)=0 et P'(0)=0
et donc c'est pas n'importe quel poly de degré 4
et en fait tu vas voir que x^2,x^3,x^4
forment une base de F
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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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