C0(omega) comme espace de Frechet

[Anonyme]

Bonjour,

Soit O un ouvert de R^n. K_n une suite de compacts dont l'union est egale a
O.

On considere l'espace C0(O), l'espcae des fonctions continues sur O a
valeurs dans R.

On note p_n la semi-norme qui a u (element de C0(O)) associe

p_n(u) = max sur K_n |u(x)|

On se donne une suite de reels (a_n). Les a_n sont strictements positifs
et sommables.

On considere la distance:

d(u,v)= somme a_n*p_n(u-v)/[1+p_n(u-v)]

Est-ce que C0(O) est un espace de Frechet pour cette distancce (i.e.
complet)?

Je pense que non, mais un bouquin (Methodes variationnelles de Robert
Dautray et Jacques-Louis Lions) m'affirme que oui. Un copain me suggere
qu'il faut ajouter l'hypothese que O est couvert par les interieurs des K_n,
ce qui fait effectivement marcher le truc.

Je pense que non a cause d'un contre exemple un peu long, je peux le
donner, si vous le voulez mais si la reponse est connue et qu'elle est "non"
autant en rester la. Sinon, j'essairais de voir ce qui cloche dans mon
contre exemple.

Merci.

--
Saïd.