Nombre dérivé

[Anonyme]

je ne comprend pas "le nombre dérivé", si quelqu'un peut m'éclairer...

qu'est ce qu'un nombre dérivé?

comment calculer la tangente?

qu'est ce qu'un vecteur directeur(comment le calculer)?

Pour les réponses, n'ésitez pas à être claire et le plus simple possible,
car je n'ai pas vraiment l'ésprit mathématique, et je suis longue à la
comprenette!

[Anonyme]

> je ne comprend pas "le nombre dérivé", si quelqu'un peut m'éclairer...
>
> qu'est ce qu'un nombre dérivé?
>
> comment calculer la tangente?

Formule du cours?

> qu'est ce qu'un vecteur directeur(comment le calculer)?

Ca, c'est de la géométrie du collège (ou seconde).
Si tu n'as plus tes cours sous la main, il vaut peut-être mieux tout de
suite dire à ton professeur que tu es larguée sur ces choses-là.

> Pour les réponses, n'ésitez pas à être claire et le plus simple possible,
> car je n'ai pas vraiment l'ésprit mathématique, et je suis longue à la
> comprenette!

--
Mû

[Anonyme]

gene.lejeune a écrit:
> je ne comprend pas "le nombre dérivé", si quelqu'un peut m'éclairer...
>
> qu'est ce qu'un nombre dérivé?
>
> comment calculer la tangente?
>
> qu'est ce qu'un vecteur directeur(comment le calculer)?
>
> Pour les réponses, n'ésitez pas à être claire et le plus simple possible,
> car je n'ai pas vraiment l'ésprit mathématique, et je suis longue à la
> comprenette!

On va essayer

L'objet indispensable avant tout est une fonction, comme par exemple la
fonction qui a x réel associe le nombre x^2-3 (x au xarré - trois) ;
cette fonction a une représentation graphique qui est une courbe,
ensemble de points (x,y) de RxR qui vérifient que y=x^2-3 (tu sais peut
être que celtte courbe là est une parabole, mais là n'est pas la question).
Ayant cette fonction et sa courbe, on s'imagine fixés en un point M0
(avec par ex son abscisse x0=2) et sur la courbe, donc avec une ordonnée
y0=x0^2-3 (dans mon exemple ce sera y0=2*2-3=4-3=1 et le point M0 sera
le point de coordonnées (2,1) qui est SUR la courbe.

On imagine maintenant un (autre) point M de la courbe de coordonnées
(x0+h, f(x0+h)) ; la droite MM0 a pour pente le rapport (variation des
y)/(variation des x) soit ici (f(x0+h)-f(x0))/h, nombre que je vais
appeler p(h). Imagine que M 'se rapproche indéfiniment' de M0 : alors h
tend vers 0. Que devient la pente p(h) ? CA DEPEND ! de la courbe, du
point choisi, etc...
Si 'tout va bien', comme dans l'exemple, où p(h) vaut 2x0+h (je te
laisse faire le calcul avec une identié remarquable pour (x0+h)^2), la
droite prend une 'position limite' tangente à la courbe et la limite de
p(h) est 'naturellement' (comme dirait Chirac) la pente de cette tangente.

Définition : "Le nombre dérivé de la fonction f(x) en x=x0" c'est, si
elle existe, la limite quand h tend vers 0 de l'expression
(f(x0+h)-f(x0))/h.
Interprétation : si on 'raisonne graphiquement' ce nombre est sans doute
la pente de la droite tangente en x0 à la courbe représentative de f. On
le note f'(x0).

Ainsi la tangente est : une droite, qui passe par M0(x0,y0) et de pente
f'(x0) (le nombre dérivé). Un cours d'une classe précédente donne son
équation :
y-y0=f'(x0)*(x-x0) (accroissement des y = pente * accroissement des x).
Vectoriellement, la direction de cette droite est donnée par le vecteur
(1, f'(x0)). Dans l'exemple c'est la droite y-1=4*(x-2) ou encore y=4x-7
(pente 4 ordonnée à l'origine -7 : elle passe par les points (0,-7),
(1,-3) et (2,1), coupant l'axe Ox au point de coordonnées (1.75, 0)
Le même raisonnement en x1= 0 donnera une droite y=-3 : la tangente est
alors horizontale.

J'eqça.

Si tu as pigé, tu vas pouvoir un peu plus tard commprendre que si l'on
fait varier x0, on a défini une fonction f' : x0-->f'(x0) que l'on
appellera naturellement 'fonction dérivée de f' et qui dans mon exemple
est la fonction qui a x0 associe 2*x0.

[Anonyme]

On Wed, 2 Feb 2005 17:08:33 +0100
"gene.lejeune" wrote:

> je ne comprend pas "le nombre dérivé", si quelqu'un peut m'éclairer...
>
> qu'est ce qu'un nombre dérivé?
>
> comment calculer la tangente?
>
> qu'est ce qu'un vecteur directeur(comment le calculer)?
>
> Pour les réponses, n'ésitez pas à être claire et le plus simple possible,
> car je n'ai pas vraiment l'ésprit mathématique, et je suis longue à la
> comprenette!
>

Tu peux faire l'expérience suivante : tracer une fonction quelconque
sur ordinateur avec le logiciel de ton choix, choisir un point du graphe
et faire des zooms successifs autour de ce point. Plus tu zoomes, plus (la plupart du temps) le graphe ressemble à une droite. Plus tu es proche du point choisi, plus la portion de courbe "ressemble" à un segment de droite, en l'occurrence la droite tangente au graphe de la fonction en ce point.
Le nombre dérivé est la pente de cette droite. La pente d'une droite
indique de combien augmente y suite à une augmentation de 1 de x, c'est
à dire, pour une droite d'équation y=ax+b=f(x), la pente est donnée par
le rapport entre l'augmentation de y : f(x+1)-f(x) = a(x+1)+b-(ax+b) = a
et l'augmentation de x : (x+1)-x=1. La pente est donc le coefficient de x dans l'équation de la droite.

Pour approximer le nombre dérivé d'une fonction en un point x1, on peut
dans un premier temps choisir un deuxième point x2 proche de x1, tel que
la portion de courbe entre x1 et x2 soit presque un segment de droite et
déterminer l'équation de la droite qui passe par x1 et x2. Pour ça, il faut connaitre :

- sa pente : elle est donnée par le rapport entre la variation de y et celle de x, c'est à dire :

a=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) (1)

- son ordonnée à l'origine : la valeur de y quand x vaut 0, donnée par b dans l'expression y=ax+b.
Pour la calculer, tu peux utiliser le fait que la droite passe par le point de coordonnées (x1, f(x1)). On a donc :

f(x1)=ax1+b, où a est donné par (1),

et isoler b.

Pour connaître la valeur exacte du nombre dérivé en x1, il suffit alors de prendre des valeurs de x2 de plus en plus proches de x1, c'est à dire de calculer la limite de (1) quand x2 tend vers x1. Pour ça, on peut réécrire x2=x1+h et calculer :

f'(x1) = lim (h->0) (f(x1+h)-f(x1))/((x1+h)-x1)
= lim (h->0) (f(x1+h)-f(x1))/h.

Par exemple pour calculer, la dérivée de x^2 en 1, on choisit un point
x=1+h proche de 1. La pente de la droite passant par f(1)=1 et f(1+h)=(1+h)^2 sera :

a = ((1+h)^2-1)/h
= (1+2h+h^2-1)/h
= 2+h

qui tend vers 2 quand h tend vers 0.

En faisant le même calcul en remplaçant 1 par x, on trouve a=2x, c'est à dire que quelque soit le point x choisi, le nombre dérivé de la fonction x^2 sera égal à 2x. On a défini ainsi une fonction x->y=2x appelée fonction dérivée de la fonction x^2.

Si on prend l'exemple de la fonction valeur absolue de x, |x|, on peut voir que le graphique présente une "pointe" en 0 et que quelque soit l'agrandissement autour de 0, cette pointe subsiste. On ne peut donc pas trouver une droite dont le comportement imite |x| au voisinage de 0.
En termes mathématiques, |x| n'est pas dérivable en 0, ce qu'on peut
vérifier formellement en montrant que

lim (h->0-) (|x+h|-|x|)/h /= lim (h->0+) (|x+h|-|x|)/h

où h->0- veut dire "h tend vers 0 par valeurs négatives".

--
Yves Kuhry