[DUT] : nature d'une suite

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai noté dans mon cours que la nature de la série "somme de 1 / (n!) pour n
>= 0" est convergente car elle tend vers "e" mais je n'arrive pas à le
redémontrer ...
quelqu'un peut m'aider?
Merci

[Anonyme]

Aurélien a écrit
> J'ai noté dans mon cours que la nature de la série "somme de 1 / (n!) pour
n[color=green]
> >= 0" est convergente car elle tend vers "e" mais je n'arrive pas à le
> redémontrer ...[/color]

Dans le développement en série entière
de exp(x) il suffit de faire x = 1.


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Sat, 8 Nov 2003 23:53:47 +0100 "Aurélien" a
écrit :

> Bonjour,
>
> J'ai noté dans mon cours que la nature de la série "somme de 1 / (n!)
> pour n[color=green]
> >= 0" est convergente car elle tend vers "e" mais je n'arrive pas à le
> redémontrer ...
> quelqu'un peut m'aider?[/color]

Pour la convergence : utiliser un theoreme tout fait (d'Alembert marche
bien) ou comparer a 1/n^2.

Pour la somme : dans certain bouquins, c'est une def, dans d'autres, on le
demontre par un calcul pas vraiment simple partant du developpement de
(1+1/n)^n, dans d'autres encore on pose comme def
e^x=somme(x^n/n!,n=0..infini)...

Il serait plus exact de noter : la serie "somme de 1 / (n!) pour n>= 0"
est convergente, virgule, ET sa somme est e.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr
A TRUE Klingon programmer does NOT comment his code

[Anonyme]

?? dans exp(x) il suffit de mettre x=1 ??
il n'y a pas d'exp dans une série entière: somme de 0 à l'infini de a n *x n


"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bojseb$1eoa4i$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Aurélien a écrit[color=green]
> > J'ai noté dans mon cours que la nature de la série "somme de 1 / (n!)[/color]
pour
> n[color=green][color=darkred]
> > >= 0" est convergente car elle tend vers "e" mais je n'arrive pas à le
> > redémontrer ...[/color]
>
> Dans le développement en série entière
> de exp(x) il suffit de faire x = 1.
>
>
> --
> Pierre
> pierre-capdevila@wanadoo.fr
>[/color]

[Anonyme]

> ?? dans exp(x) il suffit de mettre x=1 ??
> il n'y a pas d'exp dans une série entière: somme de 0 à l'infini de a n *x
n
>

Il n'a pas dit "dans exp" mais "dans le DSE de exp". La série entière
sum(x^n/n!) converge (rayon de convergence infini) et on décide de l'appeler
exp(x). En particulier elle converge en 1 (vers e).

[Anonyme]

ok merci !

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:bollgi$3jr$1@news-reader3.wanadoo.fr...[color=green]
> > ?? dans exp(x) il suffit de mettre x=1 ??
> > il n'y a pas d'exp dans une série entière: somme de 0 à l'infini de a n[/color]
*x
> n[color=green]
> >
>
> Il n'a pas dit "dans exp" mais "dans le DSE de exp". La série entière
> sum(x^n/n!) converge (rayon de convergence infini) et on décide de[/color]
l'appeler
> exp(x). En particulier elle converge en 1 (vers e).
>
>

[Anonyme]

Julien Santini wrote:[color=green]
>>?? dans exp(x) il suffit de mettre x=1 ??
>>il n'y a pas d'exp dans une série entière: somme de 0 à l'infini de a n *x n
>
> Il n'a pas dit "dans exp" mais "dans le DSE de exp". La série entière
> sum(x^n/n!) converge (rayon de convergence infini) et on décide de l'appeler
> exp(x). En particulier elle converge en 1 (vers e).[/color]

Il est intéressant de montrer aussi qu'en décidant d'appeler exp(x) la fonction
(1+x/n)^n, on retombe sur la même chose...ou encore ayant définit le logarithme,
montrer qu'en appelant exp(x) sa fonction réciproque, on retombe sur la même
chose...