Mise au point d'exercices pour un cours

[Anonyme]

Bonjour à tous,


Je suis un professeur de grec ancien, et je travaille actuellement sur
une séquence de 3ème cnsacrée à Euclide.
Mes élèves devraient en principe parvenir à traduire les axiomes
suivants des Eléments :
1. Le point est ce dont la partie est nulle.
2. Une ligne est une longueur sans largeur.
3. Les extrémités d'une ligne sont des points.
4. La ligne droite est celle qui est également placée entre ses
points.
5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. Les extrémités d'une surface sont des lignes.
7. La surface plane est celle qui est également placée entre ses
droites.
8. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se
touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même
direction.
9. Lorsque les lignes, qui comprennent ledit angle, sont des
droites, l'angle se nomme rectiligne.

11. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
12. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.
13. On appelle limite ce qui est l'extrémité de quelque chose.
14. Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs
limites.
15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne
qu'on nomme circonférence; toutes les droites, menées à la
circonférence d'un des points placée dans cette figure, étant égales
entre elles.
16. Ce point se nomme le centre du cercle.
17. Le diamètre du cercle est une droite menée par le centre, et
terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle : le
diamètre partage le cercle en deux parties égales.

Je voudrais faire un cours qui soit interdisciplinaire, et pour cela,
leur demander des exercices en mathématiques qui s'ppauient sur les
axiomes d'Euclide ci-dessus.
Problème : je ne suis pas professeur de mathématiques, et je ne
conaais pas assez bien le programme de 3ème en maths.
Quelqu'un aurait-il des solutions à me proposer ?
Cordialement
Anaxagore

[Anonyme]

"Anaxagore" a écrit

> Je suis un professeur de grec ancien, et je travaille actuellement sur
> une séquence de 3ème cnsacrée à Euclide.
> Mes élèves devraient en principe parvenir à traduire les axiomes
> suivants des Eléments :
> 1. Le point est ce dont la partie est nulle.
....
> 17. Le diamètre du cercle est une droite menée par le centre, et
> terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle : le
> diamètre partage le cercle en deux parties égales.
>
> Je voudrais faire un cours qui soit interdisciplinaire, et pour cela,
> leur demander des exercices en mathématiques qui s'ppauient sur les
> axiomes d'Euclide ci-dessus.
> Problème : je ne suis pas professeur de mathématiques, et je ne
> conaais pas assez bien le programme de 3ème en maths.
> Quelqu'un aurait-il des solutions à me proposer ?

Il serait peut-être intéressant de leur faire démontrer la première
proposition ou les deux ou trois premières (voire plus si affinités !).
Mais pour cela, les axiomes traduits ne sont pas suffisants : il faut
quelques axiomes, postulats (demandes) et notions communes
supplémentaires.
Il doit être possible de leur donner la liste complète en traduction.

La première proposition montre comment on construit un triangle
équilatéral sur un segment de droite donné. Elle s'appuie sur les
demandes 1 et 3, sur les axiomes 15 et 24 et sur la première notion
commune.

La deuxième montre comment tracer un segment de longueur donnée à partir
d'un point donné (le compas d'Euclide ne sert qu'à tracer des cercles
mais pas à reporter des distances, car l'écartement de ses branches ne
reste pas fixe lorsqu'on le retire de la feuille). Elle n'exige que ce
qui est requis précédemment, plus la première proposition.

La construction progressive de toute la géométrie en s'appuyant
uniquement sur les demandes initiales et sur ce qui a déjà été démontré
a fasciné les lecteurs d'Euclide à travers les siècles. On peut espérer
qu'il en soit de même pour les élèves, et que cela en incite certains à
poursuivre pour eux-mêmes la lecture des Eléments...

N.B. La méthode axiomatique ne fait pas, à ma connaissance (je ne suis
pas professeur), partie des programmes actuels du secondaire.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Stéphane Ménart wrote:

> Il serait peut-être intéressant de leur faire démontrer la première
> proposition ou les deux ou trois premières (voire plus si affinités !).
> Mais pour cela, les axiomes traduits ne sont pas suffisants : il faut
> quelques axiomes, postulats (demandes) et notions communes
> supplémentaires.

Pour préciser ce point, les « axiomes » sont plutôt ce qu'on appellerait
des définitions (voire des définitions naïves, puisque la plupart
s'appuient sur des notions elles-mêmes mal définies), et ce sont les
« postulats » et « notions communes » qui jouent le rôle d'axiomes
(encore qu'on y trouve aussi des assertions logiquement vides ou au sens
peu clair).

L'édifice ainsi bâti a sans conteste fait une impression considérable
sur des siècles de pensée occidentale. Mais il est difficile, quand on
le regarde au travers du filtre d'une formation mathématique
contemporaine, de ne pas le trouver un peu bancal (je sens que je vais
me faire taper dessus pour cette remarque, mais tant pis).

> Il doit être possible de leur donner la liste complète en traduction.
>
> La première proposition montre comment on construit un triangle
> équilatéral sur un segment de droite donné. Elle s'appuie sur les
> demandes 1 et 3, sur les axiomes 15 et 24 et sur la première notion
> commune.

Les choses ont l'air assez bien présentées sur
.

> La construction progressive de toute la géométrie en s'appuyant
> uniquement sur les demandes initiales et sur ce qui a déjà été démontré
> a fasciné les lecteurs d'Euclide à travers les siècles. On peut espérer
> qu'il en soit de même pour les élèves, et que cela en incite certains à
> poursuivre pour eux-mêmes la lecture des Eléments...

C'est triste à dire, mais je ne suis pas sûr que ce soit d'une lecture
bénéfique, si ce n'est pas accompagné par une solide formation aux
accents plus modernes. Bon, d'un autre côté, je ne suis pas vraiment un
grand lecteur d'Euclide.

> N.B. La méthode axiomatique ne fait pas, à ma connaissance (je ne suis
> pas professeur), partie des programmes actuels du secondaire.

Ça dépend de ce qu'on appelle la méthode axiomatique, mais en classe de
troisième, on fait encore (enfin, on faisait encore il y a deux ans,
quand ma petite soeur y était) des démonstrations de géométrie
s'appuyant sur des résultats élémentaire du genre « si deux droites sont
parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre
elles ». Mais il n'était pas question non plus, bien sûr, de chercher un
système d'axiomes minimal ou quoi que ce soit de ce genre.

Mais qu'en pensent les collègues de mathématiques d'Anaxagore ?

À part ça, je crois que la discussion aurait davantage sa place sur
fr.sci.maths, où je redirige.

--
Mehdi,
qui ne suis pas enseignant non plus.

[Anonyme]

On Sat, 13 Dec 2003 19:12:07 +0100, Anaxagore wrote:

> Je suis un professeur de grec ancien, et je travaille actuellement sur
> une séquence de 3ème cnsacrée à Euclide.
> Mes élèves devraient en principe parvenir à traduire les axiomes
> suivants des Eléments :
> 1. Le point est ce dont la partie est nulle.
> 2. Une ligne est une longueur sans largeur.
> 3. Les extrémités d'une ligne sont des points.
> 4. La ligne droite est celle qui est également placée entre ses
> points.

[couic]

Il ne s'agit pas d'axiomes mais de définitions de mots de vocabulaire,
définitions d'ailleurs bien peu utilisées dans la suite des Éléments.
Ces définitions sont traduites ici selon la version de Peyrard (début
XIX°, éd. Blanchard), il faudrait aussi lire celle de Vitrac, plus
moderne (fin XX°) et celle de Heath revue et ouèbisée par Joyce.

> Je voudrais faire un cours qui soit interdisciplinaire, et pour cela,
> leur demander des exercices en mathématiques qui s'ppauient sur les
> axiomes d'Euclide ci-dessus.
> Problème : je ne suis pas professeur de mathématiques, et je ne
> conaais pas assez bien le programme de 3ème en maths.
> Quelqu'un aurait-il des solutions à me proposer ?

Les axiomes sont enfait ce qu'Euclide appelle les notions communes,
évidentes en soi. Les postulats sont les demandes, qu'on demande
d'admettre.

La démonstration de la première proposition du premier livre est
d'ailleurs bancale car elle nécessite un axiome de discontinuité entre
le dedans d'un cercle et le dehors (un chemin continu partant de dedans et
arrivant dehors coupera le cercle).

Tu devrais plutôt leur faire lire la démonstration du théorème dit de
Thalès (VI.2), celle de l'angle inscrit (III.27) ou du théorème dit de
Pythagore (I.47).

nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU

P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !

[Anonyme]

Le Sat, 13 Dec 2003 23:06:59 +0100, nicolas
a écrit :


>
>Tu devrais plutôt leur faire lire la démonstration du théorème dit de
>Thalès (VI.2), celle de l'angle inscrit (III.27) ou du théorème dit de
>Pythagore (I.47).
>

J'y ai pensé, mais à leur niveau, ils ne peuvent pas la traduire.
Jel'intègre tout de même dans mon cours, mais pour l'instant, je ne
sais pas trop ce que je vais en faire. l'avantage du reste , est qu'il
ne présente guère de difficultés syntaxiques.
Merci
Cordialement
Anaxagore