Methode de Cesaro

[Anonyme]

Bonjour a tous,

J'ai posté récemment ce post, mais il n'a pas eu trop de succès, ou plutot
je n'ai pas eu de réponses suffisantes, peut etre cette fois quelqu'un saura
vraiment m'aider:


j'ai quelques questions concernant la méthode de Cesaro:
Bref rappel
Un-->l ==> sum(Uk,1,n)/n --> l (1)
Généralisation
Un-->l ==> sum(ak.Uk,1,n)/Sum(ak,1,n) --> l (2)

1) Tout d'abord, pourquoi peut on se restreindre au cas Un->0 pour montrer
les propriétés (1) et (2)

2) La réciproque de (1) est vraie si Un est monotone. quelqu'un peut til
m'aider a le montrer
Soit Un croissante (au pire on change Un en -Un)
J'essaie de le montrer par l'absurde en supposant qu'il y a un terme>0 et
qu'a partir de celui ci tous les termes sont supérieurs (Un etant
croissante)
Mais jarrive pas trop a mettre tout ca en forme

Merci!!

[Anonyme]

> j'ai quelques questions concernant la méthode de Cesaro:
> Bref rappel
> Un-->l ==> sum(Uk,1,n)/n --> l (1)
> Généralisation
> Un-->l ==> sum(ak.Uk,1,n)/Sum(ak,1,n) --> l (2)

> 1) Tout d'abord, pourquoi peut on se restreindre au cas Un->0 pour montrer
> les propriétés (1) et (2)

Vn = (Un - l)

> 2) La réciproque de (1) est vraie si Un est monotone. quelqu'un peut til
> m'aider a le montrer


Pour cette partie-là, la réponse qu'on t'a faite sur fr.sci.maths est la
plus efficace... Un croissante => Un convergente vers l' (et l' = l par
Césaro direct) ou Un diverge vers +oo.

Si Un diverge vers +oo, pour tout M, il existe N tel que :
(n > N) => (Un > M)

Pour n > N,
sum(Uk, k, 1, n) / n >= sum(Uk, k, 1, N-1)/n + (n-N)/n * A

La première partie tend vers 0 quand n tend vers +oo
La seconde partie tend vers A quand n tend vers +oo
Donc globalement, sum(Uk, k, 1, n) / n est supérieure ou égale à A/2 à
partir d'un certain rang N'.

Voilà donc une démonstration pas très propre (je te laisse remettre tout en
forme pour obtenir un M à la place du A/2, etc...) que si Un tend vers +oo,
alors sum(Uk, k, 0, n) / n tend vers +oo également.

En fait, ton "théorème" de Césaro marche même pour des limites dans R barre,
comme le suggérait ton interlocuteur sur fr.sci.maths. Dans le cas d'une
suite monotone, elle converge dans R barre, et alors, l'application du
Césaro simple suffit à prouver que les limites des 2 suites sont les mêmes
dans le cas de la réciproque...

--

Mot

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