Maximum de vraisemblance

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche a estimer les parametres a et g d'une loi normale:
p(x)=(1/root(2*PI*g))*e^(-(x-a)^2/2g^2)
Je veux les déterminer a l'aide du maximum de vraisemblance.

Qqun saurait il m'aider ?

Merci d'avance

Jonathan

[Anonyme]

Le 01/12/03 18:51 , Nico a exprimé son opinion en les termes suivants:

> Bonjour,

Bonjour,

> Je cherche a estimer les parametres a et g d'une loi normale:
> p(x)=(1/root(2*PI*g))*e^(-(x-a)^2/2g^2)

Ici c'est racine de 2*Pi*g^2

> Je veux les déterminer a l'aide du maximum de vraisemblance.
>
> Qqun saurait il m'aider ?

Si tu as une modélisations des réalisations de variables aléatoires
X_1,...,X_n i.i.d qui suivent ta loi normale, tu écris la vraisemblance:

f(x_1,...,x_n,a,g)=(1/sqrt(2*Pi*g^2))^n * e^(-sum(x_i-a)^2/(2g^2))

Tu en prends le log:

log(f(...))=A-n*log(g)-sum(x_i-a)^2/(2g^2) où A est une constante.

Tu dérives par rapport à g et à a:

dlog(f)/dg=-n/g+sum(x_i-a)^2/(g^3)

dlog(f)/da=sum(x_i-a)/g^2

Tu annules tes deux dernières égalités et tu trouves

a_n=sum(x_i)/n

g_n(a)=sum(x_i-a)^2/n car g est différent de zéro.

Tu vérifies alors facilement que g_n(a) est maximum en a_n ce qui
t'arranges bien.

Tu as alors le maximum de vraisemblance en (a_n,g_n).

Pour aller plus loin, il faudrait montrer la normalité asymptotique de
a_n et g_n et en déduire des intervalles de confiance.....

> Merci d'avance

De rien.

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Rêver est le seul suicide que se permettent les gens bien élevés.

[Anonyme]

Je reposte mon message à la demande de l'interressé.

Denis wrote in message news:...
> Si tu as une modélisations des réalisations de variables aléatoires
> X_1,...,X_n i.i.d qui suivent ta loi normale, tu écris la vraisemblance
> :
>
> f(x_1,...,x_n,a,g)=(1/sqrt(2*Pi*g^2))^n * e^(-sum(x_i-a)^2/(2g^2))
>
> Tu en prends le log:
>
> log(f(...))=A-n*log(g)-sum(x_i-a)^2/(2g^2) où A est une constante.
>
> Tu dérives par rapport à g et à a:
>
> dlog(f)/dg=-n/g+sum(x_i-a)^2/(g^3)
>
> dlog(f)/da=sum(x_i-a)/g^2
>
> Tu annules tes deux dernières égalités et tu trouves
>
> a_n=sum(x_i)/n
>
> g_n(a)=sum(x_i-a)^2/n car g est différent de zéro.
>
> Tu vérifies alors facilement que g_n(a) est maximum en a_n ce qui
> t'arranges bien.
>
> Tu as alors le maximum de vraisemblance en (a_n,g_n).
>
> Pour aller plus loin, il faudrait montrer la normalité asymptotique de
> a_n et g_n et en déduire des intervalles de confiance.....
>[color=green]
> > Merci d'avance
>
> De rien.[/color]

Bon en gros, l'idée, c'est de dériver par rapport à a et g et de
trouver les maxima qui t'arrange. Seulement, en g, ça dépend de a...
eh bien, comme la fonction g(a) obtenue pour g est croissante en a, tu
as ton maximum (à vérifier que c'est bien un maximum) en (a_n,g(a_n)).

N'hésites pas à en demander plus si tu dois aller plus loin.

Denis

[Anonyme]

ok merci pour tout j'ai resolu mon probleme...a une exception
pres: je trouve g_n^2=sum(x_i-a)^2/n et g_n=...
car je me retrouve avec l'equation: 0=-n+sum(x_i-a)^2/g^2

as tu une idee de ou est le probleme ???

[Anonyme]

ratm@mailcity.com (Nico) wrote in message news:...
> ok merci pour tout j'ai resolu mon probleme...a une exception
> pres: je trouve g_n^2=sum(x_i-a)^2/n et g_n=...
> car je me retrouve avec l'equation: 0=-n+sum(x_i-a)^2/g^2
>
> as tu une idee de ou est le probleme ???

En fait, tu ne peux pas estimer de façon valable s. c'est un exo type
de stat.
Si tu veux, je chercherai où on peut trouver ça. En gros tu ne peux
bien estimer que s^2, par g_n^2. En fait, ça se comprend bien: une
gaussienne d'écart type négatif ou positif c'est la même.

Voilà!

Denis