[MP]matrices

[Anonyme]

A et B sont dans M_2(K) et commutent. Pourquoi est-ce que A \in K[B] ou
B\in K[A] ?

[Anonyme]

On Sun, 20 Mar 2005 17:07:30 +0100, Eric wrote:

>A et B sont dans M_2(K) et commutent. Pourquoi est-ce que A \in K[B] ou
>B\in K[A] ?
réponse partielle
si l'une est à val propre distinctes par ex A
donc elle est diagonalisable
de matrice de passage P
A=P^(-1)DP , D diagonale
B=P^(-1)B'P
AB=BA équivaut à
DB'=B'D
eqv à B'diagonale

et dans ce cas B' va s'écrire uI+vD
(systéme 2*2 de Kramer, car les valeurs propres sont distinctes)

et B=P^(-1)(uI+vD)P=uI+vA

[Anonyme]

- Alain Pichereau :

[color=green]
>>A et B sont dans M_2(K) et commutent. Pourquoi est-ce que A \in K[B] ou
>>B\in K[A] ?
> réponse partielle
> si l'une est à val propre distinctes par ex A
> donc elle est diagonalisable[/color]
(..)
> et B=P^(-1)(uI+vD)P=uI+vA

D'après ce raisonnement, si A est à vp distinctes, ca marche même si n>=2.
Mais dans le cas général, comment utiliser le fait d'avoir n=2 ?