Matrice inversible à coeffs positifs

[Anonyme]

Bonjour
Comment démontrer que A et A^(-1) sont à coeff positifs ssi A à coeff
positifs et n'a qu'un seul coeff non nul par ligne et par colonne ?

[Anonyme]

> Comment démontrer que A et A^(-1) sont à coeff positifs ssi A à coeff
> positifs et n'a qu'un seul coeff non nul par ligne et par colonne ?

Une bonne idée me semble être d'écrire le pivot de Gauss: si on a deux
coefficients >0 sur une ligne ou une colonne, on aura besoin de soustraire
un multiple positif d'une ligne à une autre, autrement dit de multiplier par
une dilatation ou transvection ayant un coefficient <0. Ca devrait pouvoir
permettre de trouver une contradiction.

--
Mû

[Anonyme]

Bonsoir,
La question d'Eric m'interesse mais ta réponse ne m'éclaire pas .. peux tu
être plus explicite pour les "non matheux"...

MErci d'avance
Isabelle


"µ" a écrit dans le message de news:
4220a728$0$11726$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> Comment démontrer que A et A^(-1) sont à coeff positifs ssi A à coeff
>> positifs et n'a qu'un seul coeff non nul par ligne et par colonne ?
>
> Une bonne idée me semble être d'écrire le pivot de Gauss: si on a deux
> coefficients >0 sur une ligne ou une colonne, on aura besoin de soustraire
> un multiple positif d'une ligne à une autre, autrement dit de multiplier
> par une dilatation ou transvection ayant un coefficient pouvoir permettre de trouver une contradiction.
>
> --
> Mû
>
>[/color]

[Anonyme]

On Sat, 26 Feb 2005 17:42:06 +0100, Eric wrote:

>Bonjour
>Comment démontrer que A et A^(-1) sont à coeff positifs ssi A à coeff
>positifs et n'a qu'un seul coeff non nul par ligne et par colonne ?
tout d'abord question vocabulaire je pense qu'il faudrait dire
coeff positifs ou nuls car une matrice à coeff positifs c'est tous les
a_i,j>0

Si A a tous ses coeff>=0 et un seul non nul par ligne et par
colonne
on voit, par exemple, que la base de départ ( les e_i) est
transformée en une base (la même à des coeff >0 près)
car A*e_i=a_g(i),i*e_g(i) et g bijective
(a_g(i),i est le seul élément de la ième colo qui soit non nul, donc
>0)
donc A est inversible et ts les éléments de l'inverse sont nuls
exceptés un par ligne et par colo ( car A^(-1)*e_g(i)=(1/a_g(i),i)*e_i
et si on veut on peut remplacer i par g^(-1)(i) )

si A et A^(-1) sont à coeff >=0

supposons
a_1,1>0 et a_1,2>0
comme A*A^(-1)=I on a (en notant a'_i,j les élé de l'inverse
pour i=/=j on a somme sur des k des a_i,k*a'_k,j=0

tous les termes étant >=0 chaque terme a_i,k*a'_k,j est nul

donc a_1,1*a'_1,j=0 pour j diff de 1
a_1,2*a'_2,j=0 pour j diff de 1

donc a'_1,j=a'_2,j=0 pour j diff de 1
donc les 2 premières lignes de A^(-1)= sont nulles (sauf leur 1er
élément)
donc elles sont liées
contraire à A^(-1) inversible

de même si la 1ière ligne a 2 termes >0 placés n'importe où
de même si ca arrive sur une ligne qq

donc à ce niveau sur chaque ligne de A il ne peut y avoir 2 termes >0
donc il y en un et un seul (sinon la ligne serait nulle et A pas
inversible)
mais l'hypo est valable pour la transposée
donc on obtient aussi le résultat pour les colonnes
donc on a le résultat demandé

en espérant ne m'être pas trop mélangé dans les indices...