Matrice diagonalisable et irrationnalité

[Anonyme]

Bonjour,

On a la matrice A=

1 1 1
1 1 0
1 0 0

on me demandait d'abord de montrer qu'elle etait diagonalisable à 3 valeurs
propres distinctes a, b et c, ce qui se fait sans mal en traçant la tableau des
variations du polynome caracteristique.
Puis on demande d'expliciter pour n dans Z, U, V et W tels que
A^n=a^n*U+b^n*V+c^n*W. Puisqu'on a A=P*Diag(a,b,c)*P^-1, on a alors
U=PE11P^-1, V=PE22P^-1,W=PE33P^-1

et là question ultime, celle que je n'arrive pas à repondre: montrer que a^n,
b^n et c^n sont des irrationnels.

ça doit être par l'absurde comme la démo pour sqrt(2), mais ici on a des
matrices, donc l'arithmetique pour les matrices ça le fait pas trop...

comment faire?

merci