Matrice 3x3

[Anonyme]

Bonsoir,

Problème: "montrer que toute matrice 3x3 à coeffs strictement positifs admet
une valeur propre strictement positive."

Bon déjà on peut supposer notre matrice non trigonalisable dans Mn(R) (sinon
elle admet évidemment une valeur propre >0).
Son polynôme minimal est alors de la forme:
(X+a)*(X^2+bX+c) ou X^2+bX+c avec b^2-4c 0 sinon le
problème est réglé).
De là j'espérais pouvoir trouver une absurdité mais nada (en fait c'est
absurde mais les relations numériques sont trop compliquées pour que
j'arrive à les exploiter).

Une indication?

Merci.

A bientôt pour de nouvelles aventures!

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: blhuaf$bc1$1@news-reader1.wanadoo.fr...
> Bonsoir,
>
> Problème: "montrer que toute matrice 3x3 à coeffs strictement positifs
admet
> une valeur propre strictement positive."
>
> Bon déjà on peut supposer notre matrice non trigonalisable dans Mn(R)
(sinon
> elle admet évidemment une valeur propre >0).
> Son polynôme minimal est alors de la forme:
> (X+a)*(X^2+bX+c) ou X^2+bX+c avec b^2-4c 0 sinon le
> problème est réglé).
> De là j'espérais pouvoir trouver une absurdité mais nada (en fait c'est
> absurde mais les relations numériques sont trop compliquées pour que
> j'arrive à les exploiter).
La matrice A possède au moins une vp réelle (son poly caractéristique est de
degré impair)
1 er cas : A possède une unique vp a qui est donc réelle et Tr(A)=3a>0
2ème cas : A possède deux racines distintes a et b
On peut supposer a réelle. Puisque le poly caractéristique de A est réel, b
et conjugué de b sont racines de ce polynôme donc b=conjugué(b) i.e. b est
réel
Tr(A)=a+2b>0 donc a ou b >0
3 ème cas : A possède trois racines distinctes a,b,c
si a,b,c sont réelles Tr(A)=a+b+c>0 donc l'une des trois est >0
sinon a est réel (par exemple) et b,c sont complexes
A est donc diagonalisable sur C
On peut supposer a réelle et c=conjugué(b)
Tr(A)=a+2Re(b) >0 donc a>0 ou Re(b)>0
si a>0 c'est fini, sinon
************
Re(b)>0 et a0 (ce qui est notre cas
car Tr(A)>0), q>0 (je ne sais pas faire pour l'instant) et r0 alors
2*a*Re(b)+module(b)^2>0

[Anonyme]

> car Tr(A)>0), q>0 (je ne sais pas faire pour l'instant) et r0

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
3f7ca3fb$0$13299$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > car Tr(A)>0), q>0 (je ne sais pas faire pour l'instant) et r
> bien entendu, il faut lire r>0
mon idée est stupide

[Anonyme]

Allez je donne l'indication suprême (pas pour moi :p): j'ai trouvé ce
problème dans un exam de topologie. Qui trouve le lien ? (toujours pas moi
:<)

++
J.S
++

[Anonyme]

"masterbech" wrote in message news:...
> "masterbech" a écrit dans le message de news:
> 3f7ca3fb$0$13299$626a54ce@news.free.fr...[color=green][color=darkred]
> > > car Tr(A)>0)[/color][/color]

Compte tenu de ce que la trace est positive
et que le coefficient de degré 3 est -1
est-ce qu'on ne peut pas appliquer la règle de Descartes
et dire qu'il y a au moins une racine positive ?
---
jcp

[Anonyme]

On Fri, 3 Oct 2003 09:30:55 +0200, "Julien Santini"
wrote:
[color=blue]
>Allez je donne l'indication suprême (pas pour moi :p): j'ai trouvé ce
>problème dans un exam de topologie. Qui trouve le lien ? (toujours pas moi
>:0
admet une valeur propre >0
et il existe une vecteur propre >0 pour cette valeur propre

voilà la démo que j'avais donnée en 2001 et provenant d'un vieux
polycop
---------------
soit A une matrice dt ts les coeff sont des réels >0 alors
elle admet effectivement une vp réelle r >0
et cette vp admet un vecteur propre dont toutes les composantes sont
des réels >0
voici les éléments de la démo que j'ai (vieux polycop)
x, y seront des vecteurs de R^n;xi, yi leurs composantes
x>=0 signifie ttes les compo >=0 (idem pour >)
x>=y signifie x-y>=0
soit x>=0 et non nul
et r_x=min des (Ax)i/xi pour xi non nul
r = max des r_x pour x dans B = ensemble des x>=0 et de norme 1

si y=Ax alors y>0 et r_x*xr_y est continue donc il existe z>0 tel que
r=r_z (en effet ce z est un Ax avec x>=0 et non nul)

on a r*z0 et Au-ru >0 (avec u=Az)
on peut treouver e>0 tel que
Au-(r+e)*u>0 et alors r_u>=r+e>r et contradiction
donc Az=r*z avec z>0
mais r>0 ( on considére x=(1,1,....1) pour qui r_x >0)
j'espère avoir bien recopié...

-------------------------------
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Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam et les 3 lettres devant wana

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

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[Anonyme]

> voilà la démo que j'avais donnée en 2001 et provenant d'un vieux
> polycop

Vous l'aviez donné à qui ?? Il est fou cet exo !!
En tout cas merci pour la solution (que je relirai demain matin parce que
jusqu'ici je la comprends mais je me représente pas encore le truc).

@+
J.S

[Anonyme]

"Marc Pichereau"
a écrit
dans le message news:
3f7daba1.2227572@news.wanadoo.fr...
> On Fri, 3 Oct 2003 09:30:55 +0200, "Julien
Santini"
> wrote:
>[color=green]
> >Allez je donne l'indication suprême (pas pour[/color]
moi :p): j'ai trouvé ce[color=green]
> >problème dans un exam de topologie. Qui trouve[/color]
le lien ? (toujours pas moi[color=green]
> >: en fait toute matrice réelle à éléments >0
> admet une valeur propre >0
> et il existe une vecteur propre >0 pour cette
valeur propre
>

C'est Perron-Frobenius.Voir


http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SIREV/articl
es/35944.pdf

où sont passés en revue des preuves et des
applications de ce théorème. Regarder en
particulier le 1er lemme du §4 qui donne une
preuve très courte.

[Anonyme]

On Fri, 3 Oct 2003 21:20:46 +0200, "Julien Santini"
wrote:
[color=green]
>> voilà la démo que j'avais donnée en 2001 et provenant d'un vieux
>> polycop
>
>Vous l'aviez donné à qui ?? Il est fou cet exo !![/color]
je l'avais simplement postée sur fr.sci.maths où il y avait eu
à l'époque un fil là-dessus
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Pichereau Alain

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[Anonyme]

On Sat, 4 Oct 2003 15:42:43 +0200, "Pascal"
wrote:


>
>http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SIREV/articl
>es/35944.pdf
je ne récupère qu'un fichier de qq octets et acrobat 5 me dit qu'il
n'est pas lisible ?

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Pichereau Alain

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[Anonyme]

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message news: 3f7eea84.2464319@news.wanadoo.fr...
> On Sat, 4 Oct 2003 15:42:43 +0200, "Pascal"
> wrote:
>
>[color=green]
> >
> >http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SIREV/articl
> >es/35944.pdf
> je ne récupère qu'un fichier de qq octets et acrobat 5 me dit qu'il
> n'est pas lisible ?[/color]

Je viens de vérifier, ça marche. As-tu mis les _deux_ lignes du lien
ci-dessus dans la barre de ton navigateur ?

[Anonyme]

On Sat, 4 Oct 2003 17:57:14 +0200, "Pascal"
wrote:

[color=green][color=darkred]
>> >http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SIREV/articl
>> >es/35944.pdf
>> je ne récupère qu'un fichier de qq octets et acrobat 5 me dit qu'il
>> n'est pas lisible ?[/color]
>
>Je viens de vérifier, ça marche. As-tu mis les _deux_ lignes du lien
>ci-dessus dans la barre de ton navigateur ?[/color]
oui
mais ca ne marche tj pas
cependant, en allant à la racine de l'adresse et en faisant une
recherche via leur moteur j'ai fini par obtenir ce fichier avec
l'adresse
http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/article/35944

*****************

Pichereau Alain

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[Anonyme]

> oui
> mais ca ne marche tj pas
> cependant, en allant à la racine de l'adresse et en faisant une
> recherche via leur moteur j'ai fini par obtenir ce fichier avec
> l'adresse
> http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/article/35944
>

C'est peut-être votre navigateur parce que pour moi ça marche impec (le
fichier rentre dans mes archives docs maths 2003-2004!!)

@+