Re: isomorphisme de groupes

[Anonyme]

Wenceslas wrote:

> o(x)=p.

Soit phi: Z -> G; n |-> n*1; où 1 est l'unité de G.
phi est linéaire, et Ker(phi) = pZ.

En effet, sinon G isomorphe à Z/p²Z.

Donc, on trouve un sg P de G isomorphe à Z/pZ, P = Im(phi) = phi(Z).

On peut donc lui propager une structure de coprs, celle de Z/pZ, par phi:
x*y = phi(phi-1(x)*phi-1(y)).

Enfin, on peut définir une loi 'externe' de P*G ds G: n*1*g = n*g = g + .. +
g.

Alors, G a une structure de ev sur P, de dmiension forcement finie, et g =
a_1*e_1 + a_2*e_2, car Card(G) = Card(P)^(dimension de G sur P) = p^2, et
G est isomorphe à Z/pZ par: g -> (phi-1(a_1);phi-1(a_2)).

Romain

[Anonyme]

Tu sous-entend que G est commutatif quand tu parles d'ev!
Effectivement tout groupe d'ordre p^2 est commutatif, mais c'est un peu long
à faire.

--
Maxi

[Anonyme]

Romain Beauxis wrote in
news:bs7lre$eaf$1@smilodon.ecp.fr:

> Wenceslas wrote:
>[color=green]
>> o(x)=p.
>
> Soit phi: Z -> G; n |-> n*1; où 1 est l'unité de G.
> phi est linéaire, et Ker(phi) = pZ.
>[/color]


Ce serait pas plutôt Ker(phi) = Z ?

P.

[Anonyme]

pascal wrote:

> Romain Beauxis wrote in
> news:bs7lre$eaf$1@smilodon.ecp.fr:
>[color=green]
>> Wenceslas wrote:
>>[color=darkred]
>>> o(x)=p.
>>
>> Soit phi: Z -> G; n |-> n*1; où 1 est l'unité de G.
>> phi est linéaire, et Ker(phi) = pZ.
>>[/color]
>
>
> Ce serait pas plutôt Ker(phi) = Z ?
>
> P.[/color]

Disons que si je n'ecrivais pas n'imp, ce serait juste..
Deja parler d'unité de G suppose un groupe d'unité..

Pour éviter cela, je reprend avec une notation multiplicative.

Bref, je voulais parler d'un elt d'ordre p, bien entendu!
phi: Z -> G; n |-> g^n, où g est d'ordre p.

Alors, comme g est d'ordre p, il est clair que le sg de G engendré par phi
est cyclique d'ordre p.

Par contre, phi n'est pas un morphisme, donc je ne parlerais pas de son
noyau..

Romain

[Anonyme]

Maxi wrote:

> Tu sous-entend que G est commutatif quand tu parles d'ev!
> Effectivement tout groupe d'ordre p^2 est commutatif, mais c'est un peu
> long à faire.
>

Lemme: le centre d'un p groupe (groupe de cardinal une puissance de p) est
non trivial.

En effet, si on fait agir g sur lui même par automorphisme interieur: (g,g')
|-> g^(-1)*g'*g,
Alors, g' est dans Z ssi son orbite est réduite à lui même.
De plus, le cardinal de chaque orbite vaut soit 1 soit une puissance de p.
Ainsi, modulo p, le nombre d'elt de G, c'est à dire le cardinal de l'union
des orbites, et congru au cardinal de l'union des orbites de taille 1
modulo p.

Soit: card(Z(G)) = Card(G) [p]
Et: Card(Z(G)) = 0 [p], c'est à dire:
Card(Z(G)) = kp, k!=0.

Donc le centre est non trivial.

Preuve:
Soit g un elt ds G, sq que g n'appartient pas à Z.

Alors, si H_g est le sg des elts commutant avec g, on a:
* H_g contient Z, par définition
* H_g distinct de Z (il contient g).

Donc, c'est un sg de G strictement plus grand que Z.
Alors, on a les inégalités suivantes:

1 < | Z | < | G | < p², si on suppose que g n'est pas dans Z.

Sachant que le cardinal d'un sg de G appartient à l'ensemble {1,p,p²}, on a
une contradiction claire,

et G est abélien.


Romain

[Anonyme]

pascal wrote:

> Romain Beauxis wrote in
> news:bs7lre$eaf$1@smilodon.ecp.fr:
>[color=green]
>> Wenceslas wrote:
>>[color=darkred]
>>> o(x)=p.
>>
>> Soit phi: Z -> G; n |-> n*1; où 1 est l'unité de G.
>> phi est linéaire, et Ker(phi) = pZ.
>>[/color]
>
>
> Ce serait pas plutôt Ker(phi) = Z ?
>
> P.[/color]

Disons que si je n'ecrivais pas n'imp, ce serait juste..
Deja parler d'unité de G suppose un groupe d'unité..

Pour éviter cela, je reprend avec une notation multiplicative.

Bref, je voulais parler d'un elt d'ordre p, bien entendu!
phi: Z -> G; n |-> g^n, où g est d'ordre p.

Alors, comme g est d'ordre p, il est clair que le sg de G engendré par phi
est cyclique d'ordre p.


Romain