Isomorphisme Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ

[Anonyme]

Bonjour,

On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ

Soit x appartenant à Z/abZ
f(x)=(x1,x2)

Comment montre t-on l'affirmation:

x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1

^ est mis pour le pgcd

Même question pour
x inversible dans Z/abZ x1 inversible dans Z/aZ et x2 inversible dans
Z/bZ

Je sais que ces deux propriétés sont équivalentes, puisqu'on a l'équivalence
entre x inversible dans Z/nZ x^n=1, mais j'aimerai bien montrer les
deux propositions pour comprendre

[Anonyme]

"lecedre" a écrit dans le message de news:
425390c7$0$13650$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
>
> Soit x appartenant à Z/abZ
> f(x)=(x1,x2)
>
> Comment montre t-on l'affirmation:
>
> x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1
>
> ^ est mis pour le pgcd
>
> Même question pour
> x inversible dans Z/abZ x1 inversible dans Z/aZ et x2 inversible dans
> Z/bZ
>
> Je sais que ces deux propriétés sont équivalentes, puisqu'on a
l'équivalence
> entre x inversible dans Z/nZ x^n=1, mais j'aimerai bien montrer les
> deux propositions pour comprendre

Pour commencer, Z/aZ est un groupe additif ! donc on écrit a*x=0 et non
x^a=1
ensuite tu dois expliciter l'isomorphisme, sinon tu ne risques guère
d'avancer (il s'agit de f(x)=(x mod a, x mod b)
Si x mod a = 0 alors x est divisible par .., idem avec b et tu considères le
lemme de Gauss.
Pour la réciproque, c'est évident.
Pour les inversibles, revoir le cours sur la caractérisation des inversibles
de Z/nZ (c'est ceux qui sont ...... à n)
L'arithmétique de Z te permet alors de conclure

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

masterbech wrote:
> "lecedre" a écrit dans le message de news:
[color=green]
>>On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
>>
>>Soit x appartenant à Z/abZ
>>f(x)=(x1,x2)
>>
>>Comment montre t-on l'affirmation:
>>
>>x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1
>>
>>^ est mis pour le pgcd[/color]

> Pour commencer, Z/aZ est un groupe additif ! donc on écrit a*x=0 et non
> x^a=1

M'sieur Bech, le M'sieur lecedre i' dit plus haut que "^ est mis
pour le pgcd".

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de
news:4253a120$0$12193$626a14ce@news.free.fr...
>
>
> "lecedre" a écrit dans le message de news:
> 425390c7$0$13650$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
> >
> > Soit x appartenant à Z/abZ
> > f(x)=(x1,x2)
> >
> > Comment montre t-on l'affirmation:
> >
> > x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1
> >
> > ^ est mis pour le pgcd
> >
> > Même question pour
> > x inversible dans Z/abZ x1 inversible dans Z/aZ et x2 inversible[/color]
dans[color=green]
> > Z/bZ
> >
> > Je sais que ces deux propriétés sont équivalentes, puisqu'on a
> l'équivalence
> > entre x inversible dans Z/nZ x^n=1, mais j'aimerai bien montrer les
> > deux propositions pour comprendre
>
> Pour commencer, Z/aZ est un groupe additif ! donc on écrit a*x=0 et non
> x^a=1[/color]

J'ai écrit que ^ voulait dire le pgcd,
x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1 veut dire
x et ab premiers entre eux x1 premier avec a et x2 premier avec b
Désolé pour le conflit

[Anonyme]

Après mure réflexion, lecedre a écrit :
> On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ

*L'* isomorphisme...
Il existe toujours et est unique ?

Que penses-tu de prendre a=b=2 ?

[Anonyme]

> > On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
>
> *L'* isomorphisme...
> Il existe toujours et est unique ?
>
> Que penses-tu de prendre a=b=2 ?
Je pense que ça nous donne le groupe de Klein

Oui pardon a et b sont supposés premiers entre eux

[Anonyme]

> On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
> a^b=1 AVEC le symbole ^ mis pour le pgcd

> Soit x appartenant à Z/abZ
> f(x)=(x1,x2)
>
> Comment montre t-on l'affirmation:
>
> x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1

Personne n'a d'idée?

[Anonyme]

lecedre a écrit :[color=green]
>>On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
>>a^b=1 AVEC le symbole ^ mis pour le pgcd
>
>
>>Soit x appartenant à Z/abZ
>>f(x)=(x1,x2)
>>
>>Comment montre t-on l'affirmation:
>>
>>x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1
>
>
> Personne n'a d'idée?
>
>[/color]

Poser les définitions et appliquer le théorème de Bezout marche il me
semble. (Pour le sens réciproque, faire une démo par l'absurde)

[Anonyme]

"Nougy" a écrit dans le message de
news:42566bc0$0$10373$636a15ce@news.free.fr...
> lecedre a écrit :[color=green][color=darkred]
> >>On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
> >>a^b=1 AVEC le symbole ^ mis pour le pgcd
> >
> >
> >>Soit x appartenant à Z/abZ
> >>f(x)=(x1,x2)
> >>
> >>Comment montre t-on l'affirmation:
> >>
> >>x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1
> >
> >
> > Personne n'a d'idée?
> >
> >[/color]
>
> Poser les définitions et appliquer le théorème de Bezout marche il me
> semble. (Pour le sens réciproque, faire une démo par l'absurde)[/color]
Sens direct:
x^ab=1 il existe u et v tels que ux+vab=1
f(ux+vab)=uf(x)+af(vb)=f(1)
Idem pour b

C'est ca?

[Anonyme]

> >[color=green]
> > Poser les définitions et appliquer le théorème de Bezout marche il me
> > semble. (Pour le sens réciproque, faire une démo par l'absurde)
> Sens direct:
> x^ab=1 il existe u et v tels que ux+vab=1
> f(ux+vab)=uf(x)+af(vb)=f(1)[/color]

u(x1,x2)+a(m,n)=f(1)
(u*x1+a*m,u*x2+a*n)=f(1)

Pour conclure il me faudrait f(1)=(1,..)

[Anonyme]

lecedre a écrit :
[color=green]
>>Sens direct:
>>x^ab=1 il existe u et v tels que ux+vab=1
>> f(ux+vab)=uf(x)+af(vb)=f(1)
>
>
> u(x1,x2)+a(m,n)=f(1)
> (u*x1+a*m,u*x2+a*n)=f(1)
>
> Pour conclure il me faudrait f(1)=(1,..)
>
>[/color]

C'est quoi la définition de f... ?

[Anonyme]

"Nougy" a écrit dans le message de
news:42567bf6$0$10775$626a14ce@news.free.fr...
> lecedre a écrit :
>[color=green][color=darkred]
> >>Sens direct:
> >>x^ab=1 il existe u et v tels que ux+vab=1
> >> f(ux+vab)=uf(x)+af(vb)=f(1)
> >
> >
> > u(x1,x2)+a(m,n)=f(1)
> > (u*x1+a*m,u*x2+a*n)=f(1)
> >
> > Pour conclure il me faudrait f(1)=(1,..)
> >
> >[/color]
>
> C'est quoi la définition de f... ?[/color]
ah ok. morphisme de groupe, mais si on ajoute la structure d'anneau ca
marche, non?

[Anonyme]

Ca rame dur ....
Alors voyons ...


> On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ

Il me semble qu'une suggestion fortement appuyee, et a juste titre,
a ete de dire "souviens toi de la definition de cet isomophisme".
Je repete

> Soit x appartenant à Z/abZ
> f(x)=(x1,x2)
>
> Comment montre t-on l'affirmation:
>
> x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1 ^ est mis pour le pgcd

Alors, chez moi on dit pgcd(a,b) ou (a,b) quand on est paresseux.
Ce sont des notations standards.
Suite :
pgcd(x1,a)=pgcd(x,a). Ah oui, x1=x mod a i.e. a | x-x1 et 0 Même question pour
> x inversible dans Z/abZ x1 inversible dans Z/aZ et x2 inversible dans
> Z/bZ[/color]

Bon : ou bien le lecteur sait que
"x est inversible modulo m ssi pgcd(x,m)=1"
et alors la reponse precedente fait le travail, ou bien il l'a
oublie et le demontre a l'aide du theoreme de Bezout applique
a x et m.

> Je sais que ces deux propriétés sont équivalentes, puisqu'on a l'équivalence
> entre x inversible dans Z/nZ x^n=1, mais j'aimerai bien montrer les
> deux propositions pour comprendre

Alors la, je reste bouche bee d'incomprehension devant la tienne ...
Un peu d'aide ??

Amities,
Olivier

[Anonyme]

Olivier wrote:
> Ca rame dur ....
> Alors voyons ...
>
>[color=green]
>> On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
>
>
> Il me semble qu'une suggestion fortement appuyee, et a juste titre,
> a ete de dire "souviens toi de la definition de cet isomophisme".
> Je repete
>
>> Soit x appartenant à Z/abZ
>> f(x)=(x1,x2)
>>
>> Comment montre t-on l'affirmation:
>>
>> x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1 ^ est mis pour le pgcd
>
>
> Alors, chez moi on dit pgcd(a,b) ou (a,b) quand on est paresseux.
> Ce sont des notations standards.[/color]

La notation "chevron" a ses adeptes. Elle s'explique par l'ensemble
des diviseurs D(n) : D(pgcd(a,b)) = D(a) inter D(b).

> Suite :
> pgcd(x1,a)=pgcd(x,a). Ah oui, x1=x mod a i.e. a | x-x1 et 0 donc si d| x1 et a alors d|x et idem dans l'autre sens.

Oui, et j'ai envie d'être vulgaire, là. C'est complètement insensé
de parler du pgcd d'un entier m et d'une classe x modulo a. Ca n'a
de sens que dans ce cas où a = m. (c'est quoi le pgcd de (1) et 3,
(1) étant une classe modulo 2 ?)

Ce fameux "pgcd" en est pourtant bien un : c'est celui des éléments
de la classe x ! Le plus grand commun diviseur de tous les nombres
congrus à x modulo a. Alors autant écrire pgcd(x), ce serait plus
propre.

> pgcd(x2,b)=pgcd(x,b) aussi.
> Plus drole : pgcd(x,ab)=pgcd(x1,a)pgcd(x2,b)
> Oui : tout simplement parce que pgcd(x,ab)=pgcd(x,a)pgcd(x,b)
> que l'on demontre en decomposant x a et b en facteurs
> premiers.

Bien, mais faut à nouveau préciser ce qu'est ce pgcd(x, a), avec x
classe modulo ab (oui, je sais, ça marche, n'empêche...).

[Anonyme]

>> Alors, chez moi on dit pgcd(a,b) ou (a,b) quand on est paresseux.[color=green]
>> Ce sont des notations standards.
>
> La notation "chevron" a ses adeptes. Elle s'explique par l'ensemble des
> diviseurs D(n) : D(pgcd(a,b)) = D(a) inter D(b).[/color]

Euh ... C'est surtout la notation utilise dans les treillis,
ce qui se voit si on utilise a v b pour le ppcm, qui n'est certes
pas converti en union. Ce qui fait que je deconseille fortement
la notation a ^ b tant que le treillis sous jacent n'est pas
clair. Dit autrement : cette notation ne considere que la structure
factorielle alors que nous allons utiliser celle d'anneau
principal. Ceci dit, ce n'est pas bien grave.

[...]

> Oui, et j'ai envie d'être vulgaire, là. C'est complètement insensé de
> parler du pgcd d'un entier m et d'une classe x modulo a. Ca n'a de sens
> que dans ce cas où a = m.

Et est ce que je l'utilise dans un autre cas ? Bon, en fait on
peut aussi considerer pgcd(x,d) si d|m et x dans Z/mZ, mais
c'est moins interessant, comme explique ci-dessous.

> (c'est quoi le pgcd de (1) et 3, (1) étant une classe modulo 2 ?)

Exactement, ce pourquoi je n'utilise que le pgcd de x et de a
Bon, soyons serieux un peu : l'abus de notations n'est pas la, il
est bien avant :
quand on dit x modulo a, cela n'a de sens en un sens restreint
que si x est un element de l'anneau de base, soit Z. C'est a dire
qu'on prend une classe que l'on nomme x dans Z/abZ, puis un generateur
que l'on nomme malencontreusement encore x (il est dans dans Z),
qui son prend x modulo a qui a la bonne idee de ne pas dependre
du releve x (dans Z) de la classe x (dans Z/abZ), ce qui fait que
la notation x modulo a est coherente.

Pour comprendre mieux, dans Z/mZ, le pgcd (x,m) pour x dans Z/mZ
est ce qui decrit le mieux la structure arithmetique de x. On a
en effet x = u pgcd(x,m) ou u est un inversible. Ce pgcd est donc
un element essentiel pour comprendre la structure d'anneau de Z/mZ.
Ou, dit autrement, une facon de realiser le quotient de Z/mZ par
ses inversibles est de considerer un tel pgcd.

> Ce fameux "pgcd" en est pourtant bien un : c'est celui des éléments de
> la classe x ! Le plus grand commun diviseur de tous les nombres congrus
> à x modulo a. Alors autant écrire pgcd(x), ce serait plus propre.

Et ben non, on perd l'espace sous jacent, qui est bien sur contenu
comme etant l'espace de "x" mais dans ce cas il va vous falloir une
notation pour designer la classe de 2 modulo m et la distinguer de celle
de 2 modulo m'. Voila pour la proprete : la notation que je propose
(elle existe ailleurs) permet de confondre x et sa classe sans pour
autant ecrire d'erreur ni perdre d'information. C'est gentil de
souligner son 'etonnante' efficacite.

Ouf, j'ai reussi a considerer un pgcd sans me prendre les
pieds dans le tapis, bientot je vais passer dans les grandes classes
O.

[Anonyme]

Olivier wrote:

[snip précisons utiles sur la notation "^"]
[color=green]
>> Oui, et j'ai envie d'être vulgaire, là. C'est complètement insensé de
>> parler du pgcd d'un entier m et d'une classe x modulo a. Ca n'a de
>> sens que dans ce cas où a = m.
>
> Et est ce que je l'utilise dans un autre cas ?[/color]

Bien sûr que non, sinon j'aurais crié encore plus fort

> Bon, en fait on
> peut aussi considerer pgcd(x,d) si d|m et x dans Z/mZ, mais
> c'est moins interessant, comme explique ci-dessous.

Oui, aussi. N'empêche que je trouve la notation toujours aussi
maladroite.

[...]

> quand on dit x modulo a, cela n'a de sens en un sens restreint
> que si x est un element de l'anneau de base, soit Z.

C'est une vision. Je constate que lecedre ne parle pour x, x1 et x2
que de classes, pas d'entiers les représentant (il n'utilise pas "x
modulo ab" mais "x dans Z/abZ"). D'où ma mise au point.

> C'est a dire
> qu'on prend une classe que l'on nomme x dans Z/abZ, puis un generateur
> que l'on nomme malencontreusement encore x

Ben justement ! Puisque cela se fait, on en arrive à considérer
pgcd(2, 3) alors qu'on n'a pas le droit de parler de pgcd(2, 3) (non
non, pas de coquille, mais dans le premier cas je considère 2 modulo
9, et modulo 5 dans le second).

> (il est dans dans Z),
> qui son prend x modulo a qui a la bonne idee de ne pas dependre
> du releve x (dans Z) de la classe x (dans Z/abZ), ce qui fait que
> la notation x modulo a est coherente.

En d'autres termes, tu dis qu'il y a bien une surjection canonique
Z/abZ -> Z/aZ.

> Pour comprendre mieux, dans Z/mZ, le pgcd (x,m) pour x dans Z/mZ
> est ce qui decrit le mieux la structure arithmetique de x. On a
> en effet x = u pgcd(x,m) ou u est un inversible. Ce pgcd est donc
> un element essentiel pour comprendre la structure d'anneau de Z/mZ.
> Ou, dit autrement, une facon de realiser le quotient de Z/mZ par
> ses inversibles est de considerer un tel pgcd.

C'est amusant, un peu plus bas tu me reproches de devoir rappeler le
quotient quand je parle de "pgcd(x), x classe modulo a" alors que
dans ta première phrase ci-dessus tu as du le mentionner deux fois
pour qu'elle soit claire.
[color=green]
> > Ce fameux "pgcd" en est pourtant bien un : c'est celui des éléments de
> > la classe x ! Le plus grand commun diviseur de tous les nombres congrus
> > à x modulo a. Alors autant écrire pgcd(x), ce serait plus propre.
>
> Et ben non, on perd l'espace sous jacent,[/color]

Pas du tout ! Je parle bien de la "classe". Si x dans Z/aZ, x
définit a : c'est la différence de deux éléments consécutifs de x.

> qui est bien sur contenu
> comme etant l'espace de "x" mais dans ce cas il va vous falloir une
> notation pour designer la classe de 2 modulo m et la distinguer de celle
> de 2 modulo m'.

Ca existe. On écrit 2 + mZ dans un cas et 2 + m'Z dans l'autre,
c'est à peine plus long, et plus de risque de confusion. C'est une
notation standard.

> Voila pour la proprete : la notation que je propose
> (elle existe ailleurs)

Quel dommage !

> permet de confondre x et sa classe sans pour
> autant ecrire d'erreur ni perdre d'information. C'est gentil de
> souligner son 'etonnante' efficacite.

Mouarf.

Bon, bref, je doute que lecedre ait bien pris en compte toutes les
subtilités de ces notations, sans quoi il aurait certainement trouvé
la solution à son problème.

[Anonyme]

Hibernatus wrote:
> [snip précisons utiles sur la notation "^"]
[...]
> Bien sûr que non, sinon j'aurais crié encore plus fort

Un polemiqueur inconsequent qui de surcroit a tout compris.
Fin pour moi de cette joute de babache. O.

[Anonyme]

Olivier wrote:
> Hibernatus wrote:
>[color=green]
>> [snip précisons utiles sur la notation "^"]
>
> [...]
>
>> Bien sûr que non, sinon j'aurais crié encore plus fort
>
>
> Un polemiqueur inconsequent qui de surcroit a tout compris.
> Fin pour moi de cette joute de babache. O.
>[/color]

Quelle réponse idiote.

Signé : j'ai tout compris.

[Anonyme]

Tiens, suivi sur fme, vu la tournure des événements.

[Anonyme]

> > On considère l'isomorphisme f: Z/abZ ~ Z/aZ x Z/bZ
>
> Il me semble qu'une suggestion fortement appuyee, et a juste titre,
> a ete de dire "souviens toi de la definition de cet isomophisme".
> Je repete
>[color=green]
> > Soit x appartenant à Z/abZ
> > f(x)=(x1,x2)
> >
> > Comment montre t-on l'affirmation:
> >
> > x^ab=1 x1^a=1 et x2^b=1 ^ est mis pour le pgcd
>
> Alors, chez moi on dit pgcd(a,b) ou (a,b) quand on est paresseux.
> Ce sont des notations standards.[/color]
La mienne aussi mai on va pa revenir la dessus

> Suite :
> pgcd(x1,a)=pgcd(x,a).
>Ah oui, x1=x mod a
Pourquoi?
[color=green]
> > Même question pour
> > x inversible dans Z/abZ x1 inversible dans Z/aZ et x2 inversible[/color]
dans[color=green]
> > Z/bZ
>
> Bon : ou bien le lecteur sait que
> "x est inversible modulo m ssi pgcd(x,m)=1"
> et alors la reponse precedente fait le travail, ou bien il l'a
> oublie et le demontre a l'aide du theoreme de Bezout applique
> a x et m.[/color]

Ma remarque d'en dessous voulait dire je connais cette équivalence mai je
n'ai pas envie de l'utiliser. Autrement dit, je préfère quelqu'un qui me
dise pourquoi les éléments inversibles ce correspondent plutôt que quelqu'un
qui me dise c'est trivial
[color=green]
> > Je sais que ces deux propriétés sont équivalentes, puisqu'on a[/color]
l'équivalence[color=green]
> > entre x inversible dans Z/nZ x^n=1, mais j'aimerai bien montrer les
> > deux propositions pour comprendre
>
> Alors la, je reste bouche bee d'incomprehension devant la tienne ...
> Un peu d'aide ??[/color]