Irrationalité de "racine carrée de 2"

[Anonyme]

Bonjour.
Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
démonstration par l'absurde. Connaissez-vous donc une autre méthode ?
Merci d'avance.

[Anonyme]

kfgauss@hotmail.com (Stéphane) a écrit :

> Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
> la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
> démonstration par l'absurde. Connaissez-vous donc une autre méthode ?

Calculer son développement en fractions continues.

--
Dimitri

[Anonyme]

On 2005-04-18, Stéphane wrote:
> Bonjour.
> Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
> la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
> démonstration par l'absurde. Connaissez-vous donc une autre méthode ?

Une démonstration par l'absurde est souvent une contraposée un peu
cachée. Je propose donc :

Le but est de montrer que pour tous p, q entiers non nuls, premiers
entre eux, p^2 n'est pas égal a 2q^2. En effet, si p et q sont premiers
entre eux, soit (p est pair et q impair), soit (p est impair).
Dans le premier cas, p^2 est un multiple de 4 tandis que q^2 est premier
avec 4. Donc q^2 est une fois pair, tandis que p^2 est deux fois
pair : ils sont donc différents. Par ailleurs, si (p est impair),
p^2 est impair tandis que 2q^2 est pair, il n'y a donc pas égalité.

Conclusion : pour tous p, q premiers entre eux, non nuls,
(p/q)^2 est différent de 2. Autrement dit, il n'existe pas de fraction
dont le carré soit 2. Donc racine de 2 est irrationnel.

Si je ne me suis pas trompé, il n'y a pas de raisonnement par l'absurde
explicite ou implicite dans cette démonstration. On a besoin du
raisonnement par l'absurde quand on a besoin, pour arriver a la
conclusion, d'utiliser la propriété dont on veut montrer qu'elle est
fausse. Ça n'est pas le cas ici.

--
Frédéric

[Anonyme]

kfgauss@hotmail.com (Stéphane) a écrit :

> Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
> la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
> démonstration par l'absurde.

Au passage, cette preuve n'utilise pas le raisonnement par
l'absurde. Le raisonnement par l'absurde c'est déduire A de
non(A) -> faux. Ici, on montre R -> faux (où R est « racine de 2 est
rationnelle ») et on conclut que non(R) est vrai. C'est tout à fait
licite sans raisonnement par l'absurde et c'est même la définition de
non(R) en logique intuitionniste.

--
Dimitri

[Anonyme]

Dimitri Ara a écrit :
> Au passage, cette preuve n'utilise pas le raisonnement par
> l'absurde. Le raisonnement par l'absurde c'est déduire A de
> non(A) -> faux. Ici, on montre R -> faux (où R est « racine de 2 est
> rationnelle ») et on conclut que non(R) est vrai.

Je suis un peu paumé
Si on prend "A := non R", n'a-t-on pas "non A = R" ? Pour le cas
particulier de "R = racine de 2 est rationelle", que serait "non non R"
si ce n'est pas "R" ?

C'est pê ma cervelle qui est déconnectée, mais là comme ça je pense
n'avoir pas saisi une subtilité.

--
Nico.

[Anonyme]

On 2005-04-18, Nicolas Richard wrote:
> Dimitri Ara a écrit :[color=green]
>> Au passage, cette preuve n'utilise pas le raisonnement par
>> l'absurde. Le raisonnement par l'absurde c'est déduire A de
>> non(A) -> faux. Ici, on montre R -> faux (où R est « racine de 2 est
>> rationnelle ») et on conclut que non(R) est vrai.
>
> Je suis un peu paumé
> Si on prend "A := non R", n'a-t-on pas "non A = R" ? Pour le cas
> particulier de "R = racine de 2 est rationelle", que serait "non non R"
> si ce n'est pas "R" ?[/color]

C'est non non R, point à la ligne... En logique intuitionniste, on
s'attache aux preuves dites constructives, i.e. par exemple si on prouve
A ou B, on est en plus capable de dire lequel de A ou B est vrai ; si on
prouve il existe x tel que P(x), on peut donner un tel x explicitement.

Or la règle non non R => R [la réciproque est, par contre, toujours vraie
en logique intuitionniste] n'est pas constructive : la base, en effet,
d'une telle assertion, est « supposons R fausse ; j'arrive à une
contradiction, donc j'ai prouvé R ». Ça ne nous donne pas de « vraie »
preuve de R.

--
Frédéric

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :

> Si on prend "A := non R", n'a-t-on pas "non A = R" ?

En logique classique, oui. En logique intuitionniste, non. Définissons
non(A) = A -> faux. Comment montres-tu que non(non(A)) -> A de
manière syntaxique (c'est-à-dire en utilisant des règles logiques et
pas des tables de vérité) ?

Je t'en donne une preuve. Supposons (A -> faux) -> faux et montrons
A. Par l'absurde, supposons non(A), c'est-à-dire A -> faux. Alors par
modus ponens, on a faux. Par raisonnement par l'absurde, A est vrai.

J'ai utilisé de manière cruciale le raisonnement par l'absurde. En
fait, non(non(A)) -> A est précisément le raisonnement par l'absurde
exprimé sous la forme d'une formule plutôt que sous celle d'une
règle.

--
Dimitri

[Anonyme]

Dimitri Ara a écrit :
> Nicolas Richard a écrit :
>[color=green]
> > Si on prend "A := non R", n'a-t-on pas "non A = R" ?
>
> En logique classique, oui. En logique intuitionniste, non.
> [snip l'explication][/color]

Merci bien, j'ai compris Mon soucis était de vouloir à tout prix
exprimer "non non R" en français...

--
Nico.

[Anonyme]

Stéphane wrote:

> Bonjour.
> Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
> la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
> démonstration par l'absurde. Connaissez-vous donc une autre méthode ?
> Merci d'avance.

Comme d'habituide il faut poser rac(2)) = p/q où p et q sont deux
entiers premiers entres eux. Puis en déduire p² = 2q².
Il existe une méthode qui consiste a déterminer le chiffre des unités de
p² et de 2q². 0 est le seul chiffre commun à ces 2 listes donc p et q
sont divisible par 5 ...

René James

[Anonyme]

Stéphane a couché sur son écran :
> Bonjour.
> Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
> la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
> démonstration par l'absurde. Connaissez-vous donc une autre méthode ?
> Merci d'avance.

Je tente une autre démonstration :

j'utilise la propriété suivante :
P(x) est un polynôme à coefficient entier p(x) = AnX^n+...........+A1X
+ Ao
Si p/q est une racine de P alors p\Ao et q\An (p/q est une fraction
irréductible)
ce n'est pas difficile à démontrer

considérons maintenant le polynôme P(x) = X^2 - 2
si ce polynôme admet une racine rationnelle alors p\2 donc p = 2 ou
1(ou les nombres négatifs - 1 et - 2)
et q\1 donc q = 1 ce qui nous donne comme racine positive soit 2 soit 1
et les négatives soit - 2 soit -1
aucun de ses nombres n'est racine du polynôme donc ce polynôme n'admet
pas de racine rationnel
comme nous savons que les solutions de cette équations sont racine de 2
et - racine de 2 le tour est joué

reste à montrer le résultat préliminaire ce que je laisse à votre
sagacité
en espérant n'avoir pas fait d'erreur

[Anonyme]

Salut à tous,
Une jolie démonstration de nature géométrique, sans doute plus proche de la
démonstration de Pythagore, et sa clique...
C'est cependant encore une démonstration par l'absurde. Avec l'hypothèse de
commensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, on montre qu'à
partir d'un carré de côtés entiers, on peut construire un autre carré à
côtés entiers mais strictement plus petit que le premier... En réitérant on
voit bien qu'il y a un problème...
Voir l'article suivant de Jean-Claude Duperret , de l'excellente revue
Repères, la revue des IREM aux pages 105-106:
http://www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consulter/Duperret_43.pdf
(environ 1,5Mo).
Le site de Repères correspond au début de cette adresse: quelques articles
sont en ligne.
Cordialement,
Nestor Alambic
http://capesinterne.free.fr







"Arkady" a écrit dans le message de news:
mn.ac257d54ba71bc99.27683@no...
> Stéphane a couché sur son écran :[color=green]
>> Bonjour.
>> Dans un sujet d'oral de CAPES interne, il est demandé de démontrer que
>> la racine carrée de 2 est irrationnelle, sans passer par la
>> démonstration par l'absurde. Connaissez-vous donc une autre méthode ?
>> Merci d'avance.
>
> Je tente une autre démonstration :
>
> j'utilise la propriété suivante :
> P(x) est un polynôme à coefficient entier p(x) = AnX^n+...........+A1X +
> Ao
> Si p/q est une racine de P alors p\Ao et q\An (p/q est une fraction
> irréductible)
> ce n'est pas difficile à démontrer
>
> considérons maintenant le polynôme P(x) = X^2 - 2
> si ce polynôme admet une racine rationnelle alors p\2 donc p = 2 ou 1(ou
> les nombres négatifs - 1 et - 2)
> et q\1 donc q = 1 ce qui nous donne comme racine positive soit 2 soit 1 et
> les négatives soit - 2 soit -1
> aucun de ses nombres n'est racine du polynôme donc ce polynôme n'admet pas
> de racine rationnel
> comme nous savons que les solutions de cette équations sont racine de 2
> et - racine de 2 le tour est joué
>
> reste à montrer le résultat préliminaire ce que je laisse à votre sagacité
> en espérant n'avoir pas fait d'erreur
>
>[/color]

[Anonyme]

Nestor Alambic a écrit :
> Salut à tous,
> Une jolie démonstration de nature géométrique, sans doute plus proche de la
> démonstration de Pythagore, et sa clique...
> C'est cependant encore une démonstration par l'absurde. Avec l'hypothèse de
> commensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, on montre qu'à partir
> d'un carré de côtés entiers, on peut construire un autre carré à côtés
> entiers mais strictement plus petit que le premier... En réitérant on voit
> bien qu'il y a un problème...
> Voir l'article suivant de Jean-Claude Duperret , de l'excellente revue
> Repères, la revue des IREM aux pages 105-106:
> http://www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consulter/Duperret_43.pdf
> (environ 1,5Mo).
> Le site de Repères correspond au début de cette adresse: quelques articles
> sont en ligne.
> Cordialement,
> Nestor Alambic
> http://capesinterne.free.fr
>
Très jolie démonstration en effet, connais tu Jean Claude Duperret?

[Anonyme]

> Très jolie démonstration en effet, connais tu Jean Claude Duperret?

Salut à tous,
Pas personnellement, mais j'ai eu l'occasion de l'entendre dans des congrès
apmep (ass des profs de maths).
Ce qu'il dit est très passionnant.
Je me permets de rajouter, pour ceux qui serait intéressé une démonstration
du fait que (1+rac(5))/2 est irrationnelle, en utilisant un pentagone
régulier. C'est sans doute là qu'apparaît l'irrationnalité pour la première
fois, car il y a un paradoxe presque immédiat: si vous avez un pentagone
régulier dont le côté et la diagonale sont mesurés par des nombres entiers;
en traçant toute les diagonales, vous récupérez un autre pentagone dont le
côté et la diagonale sont aussi mesurés par des nombres entiers.
Conflit: il n'y a pas de suites strictements décroissantes d'entiers qui
soit infinie; par contre le dessin peut être poursuivi aussi loin qu'on
veut! D'où l'absurdité.
Voir le lien suivant pour ceux qui sont intéressés...
http://capesinterne.free.fr/lecons_oral/nombre_pentagone.pdf
Cordialement,
Nestor Alambic
http://capesinterne.free.fr