Interpolation de polynômes

[Anonyme]

Bonjour mon problème est le suivant :
tout d'abord,
on se donne n réels x_k, compris entre -1 et 1, et f une fonction
quelconque.
montrer qu'il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal a 2n-1
tel que Pn (x_k) = f(x_k) et Pn' (x_k) = 0.

Je pense avoir réussi en posant phi : (P,P') -> (Pn(x_1)...Pn(x_n),Pn'(x_1),
.... Pn'(x_n)), en montrant que c'est une injection puis une bijection à
l'aide d'un argument de dimension.

mais ensuite on me demande alors :
montrer que Pn = somme( f(x_k) A_k,k,1,n) ou les A_k seront à expliciter.

Et la je n'avance pas trop, en fait je pensais pouvoir trouver l'image
réciproque d'une base, un peu comme lors de l'interpolation de Lagrange...
mais ce n'est pas concluant.

Pourriez vous m'aider ?

[Anonyme]

moufle wrote:
> Bonjour mon problème est le suivant :
> tout d'abord,
> on se donne n réels x_k, compris entre -1 et 1, et f une fonction
> quelconque.
> montrer qu'il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal a 2n-1
> tel que Pn (x_k) = f(x_k) et Pn' (x_k) = 0.
>
> Je pense avoir réussi en posant phi : (P,P') -> (Pn(x_1)...Pn(x_n),Pn'(x_1),
> ... Pn'(x_n)), en montrant que c'est une injection puis une bijection à
> l'aide d'un argument de dimension.
>
> mais ensuite on me demande alors :
> montrer que Pn = somme( f(x_k) A_k,k,1,n) ou les A_k seront à expliciter.
>
> Et la je n'avance pas trop, en fait je pensais pouvoir trouver l'image
> réciproque d'une base, un peu comme lors de l'interpolation de Lagrange...
> mais ce n'est pas concluant.
>
> Pourriez vous m'aider ?
>
>
Soit A'_k l'équivalent des A_k pour l'interpolation de Lagrange (tu me
comprends). Que dis tu de A_k = (A'_k)^2 ?

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:

> Soit A'_k l'équivalent des A_k pour l'interpolation de Lagrange (tu me
> comprends). Que dis tu de A_k = (A'_k)^2 ?
>
Ceci est faux.
Mais je crois que tu as trouvé ta réponse.