[MP] intégrales généralisées

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un souci avec une définition de convergence d'intégrale généralisée par
équivalents.

Dans mon cours, il est démontré avant la "propriété suspecte" que :
pour toutes applications f et g de R dans R, continues par morceaux sur
[a,x0[ avec x0 dans R barre ,

si f est dominée par g au vois de x0,

alors : "g intégrable sur [a,x0[" implique "f intégrable sur [a,x0["



maitenant l'énoncé suivant :

Si f et g sont ...(idem que précedemment),
si f ~g au vois de x0,
si f et g de signe constant,

alors f intégrable sur [a,x0[ équvaut à g intégrable sur x0.


pour moi, la propriété concernant le signe n'est pas utile, si on utilise la
propriété précédente pour la démonstration.

en effet :

si f ~g au vois de x0, alors f dominée par g et g dominée par f au vois de
x0.

on déduit (grace a la première ppté énoncée) que si f intégrable, alors g
intégrable sur [a,x0[ et vice versa.


Le signe ne sert pas, rassurez moi!!


N.B. je pourrais attendre lundi pour avoir des explications, mais j'aimerais
comprendre avant...

Merci d'avance

[Anonyme]

Salut

> Dans mon cours, il est démontré avant la "propriété suspecte" que :
> pour toutes applications f et g de R dans R, continues par morceaux sur
> [a,x0[ avec x0 dans R barre ,
>
> si f est dominée par g au vois de x0,
>
> alors : "g intégrable sur [a,x0[" implique "f intégrable sur [a,x0["
>

Entendons-nous sur le sens d' "intégrable"; si par là tu veux dire sommable,
alors je souscris:
|f(x)| b et donc int(|f|, b..x) maitenant l'énoncé suivant :
>
> Si f et g sont ...(idem que précedemment),
> si f ~g au vois de x0,
> si f et g de signe constant,
>
> alors f intégrable sur [a,x0[ équvaut à g intégrable sur x0.
>[/color]

Cette fois-ci, les deux notions coïncident puisqu'on a la clause du signe
constant.

>
> pour moi, la propriété concernant le signe n'est pas utile, si on utilise
la
> propriété précédente pour la démonstration.
>
> en effet :
>
> si f ~g au vois de x0, alors f dominée par g et g dominée par f au vois de
> x0.
>
> on déduit (grace a la première ppté énoncée) que si f intégrable, alors g
> intégrable sur [a,x0[ et vice versa.
>
>
> Le signe ne sert pas, rassurez moi!!

Donc tout dépend de la définition que tu as eu de Riemann-Intégrable au sens
généralisé. Pour la vraie définition, le signe est important. Pour
"sommable" (ce qui souvent introduit par les profs de prépa), le signe ne
sert plus à rien.

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:
> Entendons-nous sur le sens d' "intégrable"; si par là tu veux dire
sommable,
> alors je souscris:
> |f(x)| b et donc int(|f|, b..x) passage à la limite f est bien sommable si g l'est.
> En revanche, celà est faux pour l'intégrale de Riemann généralisée (mais
> attention, "en prépa" j'ai l'impression qu'ils confondent les deux
notions).
> Par exemple, prendre f(x) = |sin(x)|/x et g(x) = sin(x)/x sur [1,+oo[. On
a
> bien f dominée par g sur tout l'intervalle, g est Riemann-intégrable, mais
f
> ne l'est pas.

En fait, la définition de la prépa est claire...
F est intégrable ssi |f| est intégrable (et on définit intégrable)...
Comme s'occuper uniquement des fonctions positives est quand même
restrictif, certains exos (voire certains profs de MP&MP*) gardent la
définition "ancienne" de l'intégrabilité ( par exemple, on dira "par abus"
que sin(x)/x est intégrable car son intégrale vaut Pi/2) tout en conservant
les théorèmes au programme qui eux ont une définition claire (et donc
différente) de l'intégrabilité.
Je ne sais pas si je me fais comprendre là...

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: 4155813d$0$750$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Salut
>[color=green]
> > Dans mon cours, il est démontré avant la "propriété suspecte" que :
> > pour toutes applications f et g de R dans R, continues par morceaux sur
> > [a,x0[ avec x0 dans R barre ,
> >
> > si f est dominée par g au vois de x0,
> >
> > alors : "g intégrable sur [a,x0[" implique "f intégrable sur [a,x0["
> >
>
> Entendons-nous sur le sens d' "intégrable"; si par là tu veux dire[/color]
sommable,
> alors je souscris:
> |f(x)| b et donc int(|f|, b..x) passage à la limite f est bien sommable si g l'est.
> En revanche, celà est faux pour l'intégrale de Riemann généralisée (mais
> attention, "en prépa" j'ai l'impression qu'ils confondent les deux
notions).
> Par exemple, prendre f(x) = |sin(x)|/x et g(x) = sin(x)/x sur [1,+oo[. On
a
> bien f dominée par g sur tout l'intervalle, g est Riemann-intégrable, mais
f
> ne l'est pas.

Pour moi, une fonction f est intégrable sur [a,x0[ ssi l'intégrale de
abs(f) possède une limite finie.


>[color=green]
> > maitenant l'énoncé suivant :
> >
> > Si f et g sont ...(idem que précedemment),
> > si f ~g au vois de x0,
> > si f et g de signe constant,
> >
> > alors f intégrable sur [a,x0[ équvaut à g intégrable sur x0.
> >
>
> Cette fois-ci, les deux notions coïncident puisqu'on a la clause du signe
> constant.
>
> >
> > pour moi, la propriété concernant le signe n'est pas utile, si on[/color]
utilise
> la[color=green]
> > propriété précédente pour la démonstration.
> >
> > en effet :
> >
> > si f ~g au vois de x0, alors f dominée par g et g dominée par f au vois[/color]
de[color=green]
> > x0.
> >
> > on déduit (grace a la première ppté énoncée) que si f intégrable, alors[/color]
g[color=green]
> > intégrable sur [a,x0[ et vice versa.
> >
> >
> > Le signe ne sert pas, rassurez moi!!
>
> Donc tout dépend de la définition que tu as eu de Riemann-Intégrable au[/color]
sens
> généralisé. Pour la vraie définition, le signe est important. Pour
> "sommable" (ce qui souvent introduit par les profs de prépa), le signe ne
> sert plus à rien.
>
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