Intégrale

[Anonyme]

bonjour,
je suis sur un exercice qui ne doit pas être bien compliqué mais je ne vois
pas tellement comment faire

déterminer le minimum de intégrale((f ''(t))^2)dt de 0 à 1 dans l'ensemble
des fonctions f de classe C^2 sur [0,1] vérifiant f(0)=f(1)=0 et f '(0)=a où
a est un réel donné
merci d'avance pour votre aide

[Anonyme]

Dans le message news:42ac5410$0$1226$8fcfb975@news.wanadoo.fr,
Gauss a écrit:
> bonjour,
> je suis sur un exercice qui ne doit pas être bien compliqué mais je
> ne vois pas tellement comment faire
>
> déterminer le minimum de intégrale((f ''(t))^2)dt de 0 à 1 dans
> l'ensemble des fonctions f de classe C^2 sur [0,1] vérifiant
> f(0)=f(1)=0 et f '(0)=a où a est un réel donné
> merci d'avance pour votre aide

Bonjour,
Sans faire appel à des théorèmes sur la minimisation des
fonctionnelles, je crois qu'on peut faire comme ça:
On pose f"(t) = A + g(t) avec int(0,1,g(t)dt)=0
C'est toujours possible, et on note que A = f'(1)-f'(0) = f'(1)-a
Comme int(f"²) = A² + int(g²),
le problème revient à minimiser int(0,1,g²(t)dt) sachant que
int(0,1,g(t)dt)=0
g(t)=0 est la meilleure solution possible à condition qu'elle respecte
les conditions aux limites.
f"(t) = A = f'(1)-a conduit à:
f(t) = [f'(1)-a]t²/2 +bt +c
Pour respecter les conditions aux limites, il faut:
c=0, f'(1)=-a et b= a
Soit f(t) = -at²+at = at(1-t)
Et le minimum cherché est 4a².

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Cordialement,
Bruno