Intégrale et suite de fonctions (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

soient a R+
telle que :
- pour tout t dans [a,b], la suite f_n(t) converge vers 0
- int( f_n(t) dt, t=a..b) tende vers +oo avec n.

Je n'ai vraiment pas beaucoup d'idées, un peu d'aide serait donc
bienvenu. Merci d'avance.


--
albert

[Anonyme]

Dans le message news:42909373$0$32428$636a15ce@news.free.fr,
albert junior a écrit:
>
> soient a je dois construire une suite de fonctions continues f_n : [a,b] -> R+
> telle que :
> - pour tout t dans [a,b], la suite f_n(t) converge vers 0
> - int( f_n(t) dt, t=a..b) tende vers +oo avec n.
>
> Je n'ai vraiment pas beaucoup d'idées, un peu d'aide serait donc
> bienvenu. Merci d'avance.

En voici une qui semble convenir:
je pose x_n = a + (b-a)/2n
et je considère f_n(x) telle que
f_n(a) = 0
f_n(x_n) = n²
f_n(2x_n -a) = 0
f_n affine entre a et x_n, et entre x_n et 2x_n - a
f-n nulle au delà de 2x_n - a.

L'aéstuce est que, à part x=a où f_n est nulle, tout point de [a,b]
"finit par sortir" de l'intervalle de plus en plus étroit où f_n n'est
pas nulle.
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

bc92 wrote:
[color=green]
>>soient a >je dois construire une suite de fonctions continues f_n : [a,b] -> R+
>>telle que :
>>- pour tout t dans [a,b], la suite f_n(t) converge vers 0
>>- int( f_n(t) dt, t=a..b) tende vers +oo avec n.[/color]

> En voici une qui semble convenir:
> je pose x_n = a + (b-a)/2n
> et je considère f_n(x) telle que
> f_n(a) = 0
> f_n(x_n) = n²
> f_n(2x_n -a) = 0
> f_n affine entre a et x_n, et entre x_n et 2x_n - a
> f-n nulle au delà de 2x_n - a.
>
> L'astuce est que, à part x=a où f_n est nulle, tout point de [a,b]
> "finit par sortir" de l'intervalle de plus en plus étroit où f_n n'est
> pas nulle.

Merci pour cette solution !
(sauf erreur de ma part, il vaut mieux poser f_n(x_n) = n^3 sinon on
obtient une intégrale non nulle mais bornée)

Merci beaucoup en tout cas.


--
albert

[Anonyme]

albert junior a formulé la demande :
> Bonjour,
>
> soient a je dois construire une suite de fonctions continues f_n : [a,b] -> R+ telle
> que :
> - pour tout t dans [a,b], la suite f_n(t) converge vers 0
> - int( f_n(t) dt, t=a..b) tende vers +oo avec n.
>
> Je n'ai vraiment pas beaucoup d'idées, un peu d'aide serait donc bienvenu.
> Merci d'avance.

J'avais rédigé une belle réponse et je l'ai effacée sans faire exprès.
Désolé, j'en rédige un peu moins :

On prends f_n(t) =
(t-a)*n^3 pour t dans [a, a+1/n]
(-t+a+1/n)*n^3+n^2 pour t dans [a+1/n, a+2/n]
0 pour t >= a+2/n.

Ca nous fait un triangle de base [a, a+2/n] (de longueur 2/n), isocèle
puisque la pointe est d'abscisse a+1/n, et de hauteur n^2.
Son aire vaut donc 1/2* (2/n) * (n^2) = n.
Et c'est l'intégrale de f_n sur [a,b].

Par ailleurs, pour tout t dans ]a, b], f_n(t) vaut 0 à partir d'un
certain n, car t est plus grand que a+2/n à partir de ce certain n
(écrire la définition du fait que 2/n tende vers 0 pour en être
convaincu, appliquée à "epsilon"=t-a).
Et on a toujours f_n(a)=0.

[Anonyme]

albert junior wrote:

> (sauf erreur de ma part, il vaut mieux poser f_n(x_n) = n^3 sinon on
> obtient une intégrale non nulle mais bornée)

Milles excuses de ma part, du n^2 suffit bien évidemment amplement.
La nuit porte conseil...

[Anonyme]

Dans le message news:4290f656$0$7613$626a14ce@news.free.fr,
albert junior a écrit:
> albert junior wrote:
>[color=green]
>> (sauf erreur de ma part, il vaut mieux poser f_n(x_n) = n^3 sinon on
>> obtient une intégrale non nulle mais bornée)
>
> Milles excuses de ma part, du n^2 suffit bien évidemment amplement.
> La nuit porte conseil...[/color]

No problemo

--
Cordialement,
Bruno