Integrale de lebesgue

[Anonyme]

Chalut la foule

Sans se moquer, quelqu'un pourrait il me dire où est le truc pour
prouver ça:
Soit f \in L^1(µ) (pour une mesure µ sur un espace de mesure), montrer
que QQS eps > 0, EXI delta > 0 t.q. pour tout ensemble A mesurable, µ(A)
int_A (|f| dµ) < eps

Ca a l'air évident dit comme ça, mais j'arrive pas. Donc j'essaye de
majorer l'intégrale de |f| à partir de µ(A) < delta.
J'ai tenté de prendre le supremum sur les fonctions simples plus petite
que f et de majorer l'intégrale de toutes ces fonctions simples mais
j'arrive à rien : je majore par un truc qui dépend de la plus grande
valeur de la fonction simple, ce qui va pas marcher dès que |f| n'est
pas bornée.
Evidemment je dois utiliser quelque part que le supremum au départ est
fini, mais où? comment? Ca peut pas être dur, quand même, si?

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard wrote:
[color=blue]
> Sans se moquer, quelqu'un pourrait il me dire où est le truc pour
> prouver ça:
> Soit f \in L^1(µ) (pour une mesure µ sur un espace de mesure), montrer
> que QQS eps > 0, EXI delta > 0 t.q. pour tout ensemble A mesurable, µ(A)
> int_A (|f| dµ) =n_0, avec n_0
choisi maximal pour que la réunion soit de mesure plus grande que delta
(si c'est possible), et f par 2^{n+1} sur A_n, quelque chose comme ça.
Et comme on sait bien majorer la mesure des A_n...

--
M. Tibouchi
qui ne trouve pas ça trivial, en fait.

[Anonyme]

Mehdi Tibouchi a écrit :
> A_n = {x / 2^n Alors tu dois pouvoir majorer l'intégrale par ce que tu obtiens en
> remplaçant ton ensemble A par la réunion des A_n, n>=n_0, avec n_0
> choisi maximal pour que la réunion soit de mesure plus grande que delta
> (si c'est possible), et f par 2^{n+1} sur A_n, quelque chose comme ça.
> Et comme on sait bien majorer la mesure des A_n...

Merci de ton aide mais... j'ai pas trouvé. Je dois avouer que j'ai pas
bossé bcp ajd, voire même quasiment pas. Néanmoins j'ai pas trouvé ;o)
Déjà j'ai pas compris ton idée. Je veux bien écrire int_A |f| dµ

Bon je m'y remettrai correctement demain. a+

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard wrote:

> Merci de ton aide mais... j'ai pas trouvé. Je dois avouer que j'ai pas
> bossé bcp ajd, voire même quasiment pas. Néanmoins j'ai pas trouvé ;o)
> Déjà j'ai pas compris ton idée.

En fait, exprimée plus directement, l'idée était la suivante : pour une
mesure delta donnée, on maximise l'intégrale en plaçant toute la masse
delta en les points où |f| est la plus grande possible. Mais
l'encadrement était une complication inutile. Voici une présentation de
la même idée, mais plus simple.

On note B_n l'ensemble des points où |f|>n. Comme f est finie presque
partout, B_n est une suite décroissante d'intersection de mesure nulle,
donc int_{B_n} |f| tend vers 0. Soit alors eps>0 quelconque, et N tel
que int_{B_N} |f|
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.

[Anonyme]

Mehdi Tibouchi a écrit :
> En fait, exprimée plus directement, l'idée était la suivante : pour une
> mesure delta donnée, on maximise l'intégrale en plaçant toute la masse
> delta en les points où |f| est la plus grande possible. Mais
> l'encadrement était une complication inutile. Voici une présentation de
> la même idée, mais plus simple.

Extra, ça marche au poil ton histoire. Merci bien.

--
Nico.