Intégrale et inégalité de Jensen

[Anonyme]

Bonjour,
J'ai un problème dont le début de résolution doit ne pas être trop dur à
trouver, mais je n'ai rien obtenu via mes recherches.

Voilà j'ai une fonction de ce style :

\int_{\R} g(x)\left[f_X(x)-f_Y(x)\right] dx

X et Y sont des variables aléatoires de densité respectives f_X et f_Y et
puis g est une fonction qui présente une partie convexe et une partie
concave.

Tout d'abord, supposons que g soit totalement convexe (ou totalement
concave), je suis sûr qu'un corollaire pas trop éloigné de l'inégalité de
Jensen implique que si Var(X)>Var(Y) alors E(X)>E(Y) (et l'inverse dans le
cas concave). Mais je n'ai pas trouvé ce théorème.

Deuxièmement :
Mon but est d'obtenir le signe de cette expression, et même sa valeur en
fonction de g.
La fonction g est de la forme :
g(x)=
\begin{cases}
h(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \text{if}\ \ x>x^*\\
-h(-x) \ \ \ \ \text{if}\ \ x\leq x^*
\end{cases}
h étant une fonction concave : g est donc convexe avant un point donné (x^*)
et concave après. J'aimerais avoir le tableau de variation de l'expression
initiale lorsque mon x^* varie.

Merci d'avance si quelqu'un peut me donner quelques éléments utiles.

Lionel

[Anonyme]

> Tout d'abord, supposons que g soit totalement convexe (ou totalement
> concave), je suis sûr qu'un corollaire pas trop éloigné de l'inégalité de
> Jensen implique que si Var(X)>Var(Y) alors E(X)>E(Y) (et l'inverse dans le
> cas concave). Mais je n'ai pas trouvé ce théorème.

Petite erreur :

si Var(X)>Var(Y) et E(X)=E(Y) alors E(f_X(x))>E(f_Y(x))