j'ai vu en td hier qu'une différentielle exacte avait une intégrale
curviligne indépendante de la courbe choisie pour le calcul. Ce qui me
fait penser a la circulation conservative d'un champ et physique.
maintenant, pour qu'une différentielle a deux "dimensions" (dx et dy)
soit exacte, il faut vérifier le théorème de shwarz pour ses
coefficients... pour une différentielle de "dimension" 3 (dx,dy,dz) la
condition nécessaire d'exactitude est que le rotationnel du vecteur
dont les composantes sont les polynomes coefficient de la différentiel
soit nul
(w = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz exacte si rot((P,Q,R)) = 0
pour deux dimensions ça me fait penser à l'énergie potentielle en
physique, on dit que si une force est conservative (si son travail ne
dépend pas du chemin..) alors il existe une énergie potentielle E telle
que F = -grad(E)
en dimension 3, la condition du rot nul me fait penser au "potentiel
électrique" dans le cas où pour rot(E) = 0 on déduit qu'il existe une
fonction scalaire V telle que E = -grad(V) et V est le "potentiel"
électrique...
ça fait donc deux cas de calculs en rapport avec une différentielle
exacte, et deux cas où on peu parler de "potentiel"...
qu'est-ce que c'est que ce "potentiel" pour les maths ? et quelle
serait la condition nécéssaire pour avoir une différentielle exacte
avec 4 variables.. 5, 6 .. n... condition dont je suppose, le
rotationnel pour n =3 est un cas particulier...
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Nico,
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