Inégalité ?

[Anonyme]

Bonjour,

je cherche à démontrer cette inégalité :

x, y dans IR et k dans Z*,

si |x| |y|


faut distinguer plusieurs cas : k dans Z+, x>0, y >0 etc...

ou on peut démontrer cela sans faire cette étude ?
j'ai pensé à Cauchy Schwarz ?
à la convexité ?

Merci de votre aide.


Lionel.
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[Anonyme]

"Lionel Gondy" a écrit dans le message de news:
4163e61f$0$10255$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> je cherche à démontrer cette inégalité :
>
> x, y dans IR et k dans Z*,
>
> si |x| |y|
>
>
> faut distinguer plusieurs cas : k dans Z+, x>0, y >0 etc...
>
> ou on peut démontrer cela sans faire cette étude ?
> j'ai pensé à Cauchy Schwarz ?
> à la convexité ?

Je ne vois pas d'autre méthode car on doit utiliser le fait que la distance
entre deux entiers pairs est au moins de 2. On peut seulement réduire le
problème
En divisant par y, on obtient
(si |x| |y| )

(si |a| 1)
Intuitivement, c'est évident
|a+2k| >=inf(|a+2q|, q dans Z*)=distance de a à 2Z* (nombre pair privé de
0)>1 (faire un dessin de l'intervalle ]-1,1[ et de 2Z*)
Les seuls entiers pairs non nulles les plus proches d'un réel a compris
entre -1 et 1 sont les entiers -2 et 2
Puisque que la distance de -1 à -2 est 1 et la distance de 1 à 2 est 1, on
en déduit que la distance de a au plus proche pair est au moins 1
(strictement)
Ecrivons cela proprement,
Puisque |a+2k| = |-a+(-2k)| et que lorsque 2k décrit 2Z*; -2k décrit aussi
2Z*, on peut toujours supposer a>=0 (changer a en -a)
Ensuite, si k1
si k>0, alors k>=1 donc 2k>=2 donc a+2k>-1+2=1 donc |a+2k| >1

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[Anonyme]

Le Wed, 6 Oct 2004 16:24:00 +0200
masterbech a écrit
>
>
>"Lionel Gondy" a écrit dans le message de news:
>4163e61f$0$10255$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour,
>>
>> je cherche à démontrer cette inégalité :
>>
>> x, y dans IR et k dans Z*,
>>
>> si |x| |y|
>>
>>
>> faut distinguer plusieurs cas : k dans Z+, x>0, y >0 etc...
>>
>> ou on peut démontrer cela sans faire cette étude ?
>> j'ai pensé à Cauchy Schwarz ?
>> à la convexité ?
>
>Je ne vois pas d'autre méthode car on doit utiliser le fait que la distance
>entre deux entiers pairs est au moins de 2.[/color]

comme |x| = | |x| - 2|k||y| |
>= | a |y| - 2 |y| -2n |y| |
>= | 2n + (2-a) | |y|[/color]

2n >= 0
(2-a) > 1

donc | 2n + (2-a) | > 1

finalement |x+2ky| > |y|



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zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

"zwim" a écrit dans le message de news:
t3b8m0pd8u67uomcq7k3rfrrc6g22ht8c3@4ax.com...
> Le Wed, 6 Oct 2004 16:24:00 +0200

> Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

Effectivement :=) (j'ai divisé le problème par 2 et toi par 4)

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[Anonyme]

zwim wrote:

> Le Wed, 6 Oct 2004 16:24:00 +0200
> masterbech a écrit
> comme |x| comme k dans Z* alors |k| = 1+n avec n dans IN

> d'autre part on a l'inégalité | |u| - |v| | donc | x+2ky| = | x - (-2ky)|[color=green]
> >= | |x| - 2|k||y| |
> >= | a |y| - 2 |y| -2n |y| |
> >= | 2n + (2-a) | |y|[/color]

> 2n >= 0
> (2-a) > 1

> donc | 2n + (2-a) | > 1

> finalement |x+2ky| > |y|


Merci à tous de ces réponses.
J'ai pensé à une méthode un peu analogue :

si x = 0 c'est évident
si x 0
on pose u = |y|/|x| puis on étudie la fonction u -> 1+2ku pour |u| > 1.

Lionel.




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