Image et noyau

[Anonyme]

bonjour alors j'ai E un K-ev, p et q 2 projecteurs de E et p o q =0, on pose
r = p + q - q o p

a) mq r projecteur
--> ok

b) mq ker r = ker p inter ker q

alors là j'ai fait des choses mais je pense pas que se soit bon :

pour montrer l'inclusion de droite à gauche

soit x appartien à ker p inter ker q donc p(x) = 0 quelque soit x appartien
à E et q(x) = 0 quelque soit x appartient à E

donc p(x) + q(x) - q o p (x) = p(x) + q(x) - q(p(x)) = 0 + 0 - 0 = 0 donc
l'inclusion est OK

pour l'autre je vois bien qu'il faut que p(x) q(x) et qop(x) soit = 0 donc
que se sont les noyaux mais je n'arrive pas à le montrer

enfin je n'arrive pas à faire la derniere question :
Mq Im r = Im p + (+ dans un cercle) Im q

(on doit interpréter p o q = 0 en fonction des images et noyaux de p et q.
On pourra utiliser le fait que si r est un projecteur et x appartient à E, x
appartient à Im r r(x) = x
merci d'avance pour vos réponses

[Anonyme]

flo wrote:

> bonjour alors j'ai E un K-ev, p et q 2 projecteurs de E et p o q =0, on pose
> r = p + q - q o p
>
> a) mq r projecteur
> --> ok
>
> b) mq ker r = ker p inter ker q
>
> alors là j'ai fait des choses mais je pense pas que se soit bon :
>
> pour montrer l'inclusion de droite à gauche
>
> soit x appartien à ker p inter ker q donc p(x) = 0 quelque soit x appartien
> à E et q(x) = 0 quelque soit x appartient à E
>
> donc p(x) + q(x) - q o p (x) = p(x) + q(x) - q(p(x)) = 0 + 0 - 0 = 0 donc
> l'inclusion est OK
>
> pour l'autre je vois bien qu'il faut que p(x) q(x) et qop(x) soit = 0 donc
> que se sont les noyaux mais je n'arrive pas à le montrer

soit x dans ker r,

p(x) + q(x) - qop(x) = 0

p(x) + q(x) = qop(x)

compose par p à gauche :

pop(x) + poq(x) = poqop(x)
p(x) + 0 = 0

compose par q à droite :

poq(x) + qoq(x) = qopoq(x)
0 + q(x) = 0

le reste plus tard si je trouve...