Image noyau somme direct

[Anonyme]

Bonjour
voici le problème:
Montrer qu'il y a equivalence,grace au theoreme du rang, entre
1/ E=Kerf (+) Imf (+)=somme direct
2 / Kerf=Kerfof
3/ Imfof=Imf

j'ai demontré que 1=>2 ainsi que 2=>3 mais je bloque sur le 3=>1, Merci de
votre aide

[Anonyme]

Le Mon, 24 Nov 2003 22:30:06 +0100,
Jared Leto grava à la saucisse et au marteau:

> Bonjour
> voici le problème:
> Montrer qu'il y a equivalence,grace au theoreme du rang, entre
> 1/ E=Kerf (+) Imf (+)=somme direct
> 2 / Kerf=Kerfof
> 3/ Imfof=Imf
>
> j'ai demontré que 1=>2 ainsi que 2=>3 mais je bloque sur le 3=>1, Merci de
> votre aide

Pour tout x, il existe y tel que f(x) = f(f(y)) donc f(x-f(y)) =0 et x =
f(y) + (x-f(y)), le premier appartenant a l'image et le deuxieme au
noyau. Donc E = Ker f + Im f. Le theoreme du rang te dit que c'est une
somme directe.

--
Nicolas