Homothétie

[Anonyme]

Bonjour,

Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes.
Comment montre t-on que (x,f(x)) est liée?

Je pensais faire commuter f avec un projecteur (ou une symétrie si on
considere que f commute avec tous les endomorphismes inversibles), mais je
n'arrive pas conclure

[Anonyme]

"Letitia" a écrit dans le message de news:
3fbfda2f$0$26789$636a55ce@news.free.fr...
> Bonjour,
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> Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes.
> Comment montre t-on que (x,f(x)) est liée?
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> Je pensais faire commuter f avec un projecteur (ou une symétrie si on
> considere que f commute avec tous les endomorphismes inversibles), mais je
> n'arrive pas conclure
>
>
Soit x non nul

Soit H un hyperplan ne contenant pas x (on alors E=Rx+H, somme directe)
On décompose f(x) en y+z , avec y=kx et z dans H
Soit s la symétrie laissant H invariant et transformant x en -x
Alors f(s(x))=f(-x)=-y-z
D'autre part s(f(x))=s(y+z)=-y+z
Comme sof=fos, on a -y-z=-y+z, donc z=0, ce qui veut dire que f(x)=kx donc
(x,f(x)) est liée

[Anonyme]

> > Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes.[color=green]
> > Comment montre t-on que (x,f(x)) est liée?
> >
> > Je pensais faire commuter f avec un projecteur (ou une symétrie si on
> > considere que f commute avec tous les endomorphismes inversibles), mais[/color]
je[color=green]
> > n'arrive pas conclure
> >
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> Soit x non nul
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> Soit H un hyperplan ne contenant pas x (on alors E=Rx+H, somme directe)
> On décompose f(x) en y+z , avec y=kx et z dans H
> Soit s la symétrie laissant H invariant et transformant x en -x
> Alors f(s(x))=f(-x)=-y-z
> D'autre part s(f(x))=s(y+z)=-y+z
> Comme sof=fos, on a -y-z=-y+z, donc z=0, ce qui veut dire que f(x)=kx donc
> (x,f(x)) est liée
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>[/color]

Au passage, ça implique que f est une homothétie (exo classique de sup), et
donc que le centre (ensemble des éléments commutants avec tous les autres)
de L(E) est l'ensemble des homothéties.