il parait qu'un homomorphisme est toujours de groupes, mais je l'ai précisé
dans l'objet de mon message car véritable mon prof de TD l'a fait sur
l'énoncé du probléme que je vais vous poser.
Merci d'avance à ceux qui auront la patience de m'expliquer les résultats
alors qu'ils ne sont en rien obliger de le faire, et qu'en plus on ne l'est
paye pas pour ca
)Donc, soit m et n entiers naturels non nuls,
Déterminer le nombres d'homomorphisme de groupes de Z/mZ dans Z/nZ.
Trouver une CN&S pour que y'en a qu'un est que c'est celui que il est nul
(une application du résultat je présume).
Bien pour partir, notre prof nous a donner un truc,
M entier non nul, G un grp abélien, considérer le ss-grp H de G, H={x tq
m.x=0}
(bon faut montrer que c'est bien un ss-grp mais la ca va, car G est abélien
+o$)
Et K=(Hom(Z/nZ, G),+) (les homomorphismes de Z/nZ dans G avec un plus
derriére)
a) Montrez que K et H sont isomorphes.
alors à phy dans K j'associe phy(1) dans G et la bha ca marche (pas de pb).
Si on pose G=Z/nZ, magie, on a que le nombre d'homomorphisme est égale au
cardinal de K et donc à celui de H.
On cherche donc le cardinal de H.
H={x tq m.x=0}
Soit x dans H, o(x) l'ordre de x,
o(x) divise m car on a m.x=0.
o(x) divise n car x est dans G=Z/nZ.
D'ou o(x) divise pgcd(n,m).
Jusque là tout va bien.
Et là on me sort :
Il vient Card(H)=somme{pour d divise pgcd(n,m), Phy(d)) ou Phy est la
fonction indicatrice d'euler.
en effet, il y a Phy(d) éléments d'ordre d.
Bha la j'ai rien compris.
Pour chaque diviseur d du pgcd, on compte le nombre d'élément d'ordre d.
Seulement, je vois pas pourquoi, si d divise le pgcd il y a forcement des
éléments d'ordre d ... on a montré l'inverse plus haut ... bon supposont que
si il y'en a pas on compte 0 grace à Phy.
Mais alors là, dire que il y'a Phy(d) élément d'ordre d dans H ?!
Merci de bien vouloir m'éclairer.
Pierre.