Groupes

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai une petite question :
Soient deux groupes (G,*) et (F,*)
Est-ce que la réunions de ces deux ensembles est à nouveau un groupe ?

J'ai essayé de le montrer mais je suis bloqué à l'étape suivante :
qq soient x, y appartenant à GuF est-ce que x*y appartient aussi à GuF.
Mais si x appartient à G et y appartient à F comment savoir si x*y
appartient à GuF ?

Merci beaucoup de m'aider

[Anonyme]

Clément :

> Soient deux groupes (G,*) et (F,*)
> Est-ce que la réunions de ces deux ensembles est à nouveau un
> groupe ?

Un résultat est que la réunion de deux groupes est un groupe ssi l'un
des deux est inclus dans l'autre.

Tu peux essayer de le montrer. (exercice archi classique)

> J'ai essayé de le montrer mais je suis bloqué à l'étape suivante
> [...]

A priori ça ne marchera donc pas bien, il faut chercher une
condition.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

> J'ai une petite question :
> Soient deux groupes (G,*) et (F,*)
> Est-ce que la réunions de ces deux ensembles est à nouveau un groupe ?


Ca ne veut pas dire grand chose: quelle est la loi sur la réunion?
Et en plus, si on change le nom des éléments en gardant la même loi, que
va-t-il se passer?

> J'ai essayé de le montrer mais je suis bloqué à l'étape suivante :
> qq soient x, y appartenant à GuF est-ce que x*y appartient aussi à GuF.
> Mais si x appartient à G et y appartient à F comment savoir si x*y
> appartient à GuF ?

Ca n'a pas de sens.
On peut par contre mettre une loi de groupe intéressante sur GxF en
définissant la composition composante par composante.

--
Maxi

[Anonyme]

Si (G,*) et (F,*) sont deux groupes sur un même ensemble X muni d'une lci *,
alors l'intersection des groupes est un sous-groupe de G et de F. Par contre
la réunion n'est pas munie d'une structure de groupe, sauf si l'un d'eux est
déjà un sous-groupe de l'autre.

Par contre si (X,*) est un groupe et (G,*) et (F,*) sont deux groupes on
peut chercher le sous-groupe de (X,*) engendré par une partie P quelconque
de X, donc par exemple engendré par P = G U F (c'est l'intersection de tous
les sous-groupes de X contenant P, c'est à dire le plus petit sous-groupe de
X contenant P).

Pierre