1° S : géométrie Espace

[Anonyme]

Je cale sur la 3° question : démontrer que le triangle KLQ est isocèle
MERCI pour aide !!!!



ENONCE


Soit un polyèdre construit de la façon ci-dessous :

SABC est un tétraèdre REGULIER de sommet S

E milieu de SB , D milieu de SA , F milieu de SC

On tronque le tétraèdre en enlevant la partie formée par le petit tétraèdre
supérieur SEDF d'où le polyèdre EDFBAC

Soit I sur ED avec EI = (1/3) ED , J sur EB avec EJ = (1/3) EB et K sur
BC avec BK = (1 /3) BC

On considère le plan (IJK)

Soit ML sa trace (ou section) sur la face DFCA du polyèdre avec M entre D et
F et L entre A et C



3 questions :



1) Donner la construction des points M et L

2) Soit P intersection de MI et FE : quelle est la nature du
quadrilatère KLMP et la position de I et J sur ses côtés

3) KI coupe LM en Q , démontrer que KLQ est isocèle en Q et QL
= BC



SOLUTION


Tétraèdre régulier = toutes les faces sont équilatérales donc tous les côtés
= à « a » et les angles à 60°



Ici EDF et ABC équilatéraux et sont plans //

ED = DF = EF = BE = AD = FC = a/2

AB = AC = BC = a

ED // BA DF // AC et EF // BC



1) Construction de M et L

Construction de M

Dans plan (EFCB) : KJ coupe FE en P P appartient à (IJK) et (EDF) ainsi
que I

Dans (EDF) PI coupe DF en M donc IM = trace de (IJK) sur (EDF)

Construction de L

Dans plan (EDAB) JI coupe AD en N donc N appartient à (IJK) et (DACF)
ainsi que M

Dans plan (DACF) NM coupe AC en L donc ML = trace de (IJK) sur (DACF)



2) Nature de KLMP et position de I et J sur les côtés

P est l'intersection de KJ FE et MI de par la construction ci-dessus

Montrons PM // KL

Les plans (EDF) et (BAC) sont // donc sont coupés par (IJK) selon 2 droites
// : PM et KL donc PM // KL

Position de J sur le côté PK : montrons PJ = (1/3) PK

EF // à BC soit PE // à BK : Thalès sur les triangles JPE et JBK

JP/JK = JE/JB = ½ voir hypothèses BJ = (2/3) BE ...

JP = JK/2

D'où PJ = (1/3) PK

En poursuivant Thalès : PE/BK = ½ soit PE = BK/2 = (1/3)a / 2 = a / 6

Position de I sur le côté PM : montrons I milieu de PM

On a déjà PE = a / 6 on a aussi EI = a / 6 voir hypothèse DI =
(2/3) DE et DE= a/2

Donc triangle PEI est isocèle en E

Or angle(DEF) = 60° angle(PEI) = 180-60 = 120° angles IPE et EIP =
(180-120)/2 = 30°

Angles EIP et DIM sont = car opposés par le sommet donc angle DIM = 30°

Dans triangle DIM on a angleDMI = 180° - angles en I et D = 180° - 30° -
60° = 90°

Soit H milieu de PI , PEI étant isocèle en E EH est hauteur
perpendiculaire à PI

On a MD et EH perpendiculaires à PM donc MD et EH sont // d'où Thalés
dans les triangles EHI et IDM : IE/ID = (1/3)(a/2) / (2/3)(a/2) = ½ =
IH/IM soit IH = IM/2

H est milieu de PI donc PI = 2 IH = 2 IM/2 = IM donc PI = IM soit I
milieu de PM

Montrons PM = KL et donc que PKLM = parallélogramme

Calculons PF : PF = PE + EF = a/6 + a/2 = 2a/3

Dans triangle PMF rectangle en M on a sin AngleF = sin60° =
opposé/hypoténuse = PM/PF

D'où PM = PF sin60° = 2a/3 sin60°

On sait PM//KL et DF//AC et PM perpendiculaire à DF d'où KL
perpendiculaire à AC

Dans triangle KLC rectangle en L on a sin AngleC = sin60° =
opposé/hypoténuse = KL/KC

D'où KL = KC sin60° = 2a/3 sin60° voir hypothèse BK = (1/3) BC

On a PM et KL = 2a/3 sin60° donc PM = KL de plus PM//KL PKLM =
parallélogramme



3) KLQ isocèle en Q et QL = BC

Montrons ML = FC et donc ML = a/2

Théorème du TOIT : les plans (EBCF) et DACF) contenant les 2 droites // PK
et ML se coupent selon FC , alors FC est // à PK et ML

Quadrilatère MLCF : MF // LC et ML // FC , c'est donc un
parallélogramme d'où ML = FC = a/2

Montrons QL = BC = a

On a IM = KL / 2 (I milieu de PM et PM = KL) et IM // KL , alors avec
Thalès appliqué aux triangles QIM et QKL on démontre que I milieu de KQ et M
milieu de LQ

soit QL = 2 ML = 2 a/2 = a donc QL = a = BC

Montrons IK = ML = a/2

Là , je suis à sec ..

[Anonyme]

"TOUPIN" a écrit dans le message de
news:bpv5hh$6r9$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Je cale sur la 3° question : démontrer que le triangle KLQ est isocèle
> MERCI pour aide !!!!
>
>
>
> ENONCE
>
>
> Soit un polyèdre construit de la façon ci-dessous :
>
> SABC est un tétraèdre REGULIER de sommet S
>
> E milieu de SB , D milieu de SA , F milieu de SC
>
> On tronque le tétraèdre en enlevant la partie formée par le petit
tétraèdre
> supérieur SEDF d'où le polyèdre EDFBAC
>
> Soit I sur ED avec EI = (1/3) ED , J sur EB avec EJ = (1/3) EB et K
sur
> BC avec BK = (1 /3) BC
>
> On considère le plan (IJK)
>
> Soit ML sa trace (ou section) sur la face DFCA du polyèdre avec M entre D
et
> F et L entre A et C
>
>
>
> 3 questions :
>
>
>
> 1) Donner la construction des points M et L
>
> 2) Soit P intersection de MI et FE : quelle est la nature du
> quadrilatère KLMP et la position de I et J sur ses côtés
>
> 3) KI coupe LM en Q , démontrer que KLQ est isocèle en Q et
QL
> = BC
>
>
>
> SOLUTION
>
>
> Tétraèdre régulier = toutes les faces sont équilatérales donc tous les
côtés
> = à « a » et les angles à 60°
>
>
>
> Ici EDF et ABC équilatéraux et sont plans //
>
> ED = DF = EF = BE = AD = FC = a/2
>
> AB = AC = BC = a
>
> ED // BA DF // AC et EF // BC
>
>
>
> 1) Construction de M et L
>
> Construction de M
>
> Dans plan (EFCB) : KJ coupe FE en P P appartient à (IJK) et (EDF)
ainsi
> que I
>
> Dans (EDF) PI coupe DF en M donc IM = trace de (IJK) sur (EDF)
>
> Construction de L
>
> Dans plan (EDAB) JI coupe AD en N donc N appartient à (IJK) et (DACF)
> ainsi que M
>
> Dans plan (DACF) NM coupe AC en L donc ML = trace de (IJK) sur
(DACF)
>
>
>
> 2) Nature de KLMP et position de I et J sur les côtés
>
> P est l'intersection de KJ FE et MI de par la construction ci-dessus
>
> Montrons PM // KL
>
> Les plans (EDF) et (BAC) sont // donc sont coupés par (IJK) selon 2
droites
> // : PM et KL donc PM // KL
>
> Position de J sur le côté PK : montrons PJ = (1/3) PK
>
> EF // à BC soit PE // à BK : Thalès sur les triangles JPE et JBK
>
> JP/JK = JE/JB = ½ voir hypothèses BJ = (2/3) BE ...
>
> JP = JK/2
>
> D'où PJ = (1/3) PK
>
> En poursuivant Thalès : PE/BK = ½ soit PE = BK/2 = (1/3)a / 2 = a / 6
>
> Position de I sur le côté PM : montrons I milieu de PM
>
> On a déjà PE = a / 6 on a aussi EI = a / 6 voir hypothèse DI =
> (2/3) DE et DE= a/2
>
> Donc triangle PEI est isocèle en E
>
> Or angle(DEF) = 60° angle(PEI) = 180-60 = 120° angles IPE et EIP =
> (180-120)/2 = 30°
>
> Angles EIP et DIM sont = car opposés par le sommet donc angle DIM = 30°
>
> Dans triangle DIM on a angleDMI = 180° - angles en I et D = 180° - 30° -
> 60° = 90°
>
> Soit H milieu de PI , PEI étant isocèle en E EH est hauteur
> perpendiculaire à PI
>
> On a MD et EH perpendiculaires à PM donc MD et EH sont // d'où Thalés
> dans les triangles EHI et IDM : IE/ID = (1/3)(a/2) / (2/3)(a/2) = ½ =
> IH/IM soit IH = IM/2
>
> H est milieu de PI donc PI = 2 IH = 2 IM/2 = IM donc PI = IM soit I
> milieu de PM
>
> Montrons PM = KL et donc que PKLM = parallélogramme
>
> Calculons PF : PF = PE + EF = a/6 + a/2 = 2a/3
>
> Dans triangle PMF rectangle en M on a sin AngleF = sin60° =
> opposé/hypoténuse = PM/PF
>
> D'où PM = PF sin60° = 2a/3 sin60°
>
> On sait PM//KL et DF//AC et PM perpendiculaire à DF d'où KL
> perpendiculaire à AC
>
> Dans triangle KLC rectangle en L on a sin AngleC = sin60° =
> opposé/hypoténuse = KL/KC
>
> D'où KL = KC sin60° = 2a/3 sin60° voir hypothèse BK = (1/3) BC
>
> On a PM et KL = 2a/3 sin60° donc PM = KL de plus PM//KL PKLM =
> parallélogramme
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> 3) KLQ isocèle en Q et QL = BC
>
> Montrons ML = FC et donc ML = a/2
>
> Théorème du TOIT : les plans (EBCF) et DACF) contenant les 2 droites //
PK
> et ML se coupent selon FC , alors FC est // à PK et ML
>
> Quadrilatère MLCF : MF // LC et ML // FC , c'est donc un
> parallélogramme d'où ML = FC = a/2
>
> Montrons QL = BC = a
>
> On a IM = KL / 2 (I milieu de PM et PM = KL) et IM // KL , alors avec
> Thalès appliqué aux triangles QIM et QKL on démontre que I milieu de KQ et
M
> milieu de LQ
>
> soit QL = 2 ML = 2 a/2 = a donc QL = a = BC
>
> Montrons IK = ML = a/2
>
> Là , je suis à sec ..

On y arrive en prenant les coordonnées de K et I dans des axes cartésiens ;
O en A, Ox suivant AB, Oy dans le plan ABC, Oz complétant le trièdre.
Les coordonnées sont alors en posant a = 1 pour simplifier l'écriture :
pour K : (5/6, 1/(2*sqr(3)), 0)
pour I : (7/12, 1/(4*sqr(3)), 1/sqr(6))
En prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences de
coordonnées, on trouve bien :
KI = 1/2

A.J.