Géométrie (diagonales de quadrilatère)

[Anonyme]

Bonsoir à toutes et à tous,

Quand on connaît la longueur des quatres côtés d'un quadrilatère convexe ainsi que la
longueur d'une des diagonales, est-il possible de calculer la longueur de la seconde
diagonale. Et si oui, comment ?

Merci d'avance.

Gibbs.

[Anonyme]

"Gibbs" a écrit dans le message de news:
3f84788d$0$24178$ba620e4c@reader0.news.skynet.be...
> Bonsoir à toutes et à tous,
>
> Quand on connaît la longueur des quatres côtés d'un quadrilatère convexe
ainsi que la
> longueur d'une des diagonales, est-il possible de calculer la longueur de
la seconde
> diagonale. Et si oui, comment ?
>
> Merci d'avance.
>
> Gibbs.
>
>
Notons ABCD le quadrilatère convexe dont on connait les longueurs des côtés
et BD la diagonale dont on connait la longueur. Alors, dans le triangle ADB
les 3 longueurs des côtés sont connues. Il est donc possible de déterminer
les 3 angles en appliquant la formule dite "d'Al Kashi", par exemple : AD²
= AB²+BD² - 2.AB.BDcos(angleABD), d'où cos(angleABD et angleABD en tenant
compte qu'il s'agit de l'angle d'un triangle, c'est-à-dire d'un angle
compris entre 0 et Pi . Puis, dans le triangle DBC, on fait de même et on
détermine notamment l'angle BDC. Le quadrilatère étant convexe, l'angleABC =
angleABD + angleDBC et on connait alors l'angleABC. L'utilisation de la même
formule permet de calculer : AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos(ABC).

Cordialement, GN

[Anonyme]

"Gibbs" wrote in message news:...
> Bonsoir à toutes et à tous,
>
> Quand on connaît la longueur des quatres côtés d'un quadrilatère convexe ainsi que la
> longueur d'une des diagonales, est-il possible de calculer la longueur de la seconde
> diagonale. Et si oui, comment ?
>
> Merci d'avance.
>
> Gibbs.

Pierre,

La réponse est oui.
Voici une solution sous mathematica :
(humainement je pense que c'est infaisable ! )

J'appelle a b c d les côtés dans le sens direct,
dab la diagonale connue qui complète a b,
x la diagonale inconnue qui complète c d ,
pab le demi-périmètre (a b dab) etc...
sab l'aire (a b dab) calculee par la formule de Heron etc...
j'exprime alors l'aire du quadrilatere de 2 façons différentes :

eq = {sab + scd == sbc + sda};

perimetres = {pab -> (a+b+ dab)/2,
pbc -> (b+c+x)/2,
pcd -> (c+d+ dab)/2,
pda -> (d+a+x)/2};

surfaces = {sab -> Sqrt[pab(pab-a)(pab-b)(pab- dab)],
sbc -> Sqrt[pbc(pbc-b)(pbc-c)(pbc-x)],
scd -> Sqrt[pcd(pcd-c)(pcd-d)(pcd- dab)],
sda -> Sqrt[pda(pda-d)(pda-a)(pda-x)]};

eq2 = eq /. surfaces // Simplify
{Sqrt[pab*(-a + pab)*(-b + pab)*(-dab + pab)] +
Sqrt[pcd*(-c + pcd)*(-d + pcd)*(-dab + pcd)] ==
Sqrt[pbc*(-b + pbc)*(-c + pbc)*(pbc - x)] +
Sqrt[pda*(-a + pda)*(-d + pda)*(pda - x)]}

eq3 = eq2 /. perimetres // Simplify

{(Sqrt[-((a - b - dab)*(a + b - dab)*(a - b + dab)*(a + b + dab))] +
Sqrt[-((c - d - dab)*(c + d - dab)*(c - d + dab)*(c + d + dab))])/4 ==
(Sqrt[-((b - c - x)*(b + c - x)*(b - c + x)*(b + c + x))] +
Sqrt[-((a - d - x)*(a + d - x)*(a - d + x)*(a + d + x))])/4}

Il n'y a plus qu'à laisser mathematica résoudre cette équation :
sol = Solve[eq3, x][[4]];
La solution fait plusieurs pages! mais seule la solution no 4 est valable.
Test :
sol /. a -> 7.1 /. b -> 7.6 /. c -> 12.1 /. d -> 4.2 /. dab -> 11.9
{x -> 10.236}
Test avec l'autre diagonale :
sol /. a -> 4.2 /. b -> 7.1 /. c -> 7.6 /. d -> 12.1 /. dab -> 10.236
{x -> 11.9}
ça a l'air de marcher...
---
jcp

[Anonyme]

"Gérard Nin" wrote in message news:...
> "Gibbs" a écrit dans le message de news:
> 3f84788d$0$24178$ba620e4c@reader0.news.skynet.be...[color=green]
> > Bonsoir à toutes et à tous,
> > Quand on connaît la longueur des quatres côtés d'un quadrilatère convexe
> ainsi que la
> > longueur d'une des diagonales, est-il possible de calculer la longueur de
> la seconde
> > diagonale. Et si oui, comment ?
> Notons ABCD le quadrilatère convexe dont on connait les longueurs des côtés
> et BD la diagonale dont on connait la longueur. Alors, dans le triangle ADB
> les 3 longueurs des côtés sont connues. Il est donc possible de déterminer
> les 3 angles en appliquant la formule dite "d'Al Kashi", par exemple : AD²
> = AB²+BD² - 2.AB.BDcos(angleABD), d'où cos(angleABD et angleABD en tenant
> compte qu'il s'agit de l'angle d'un triangle, c'est-à-dire d'un angle
> compris entre 0 et Pi . Puis, dans le triangle DBC, on fait de même et on
> détermine notamment l'angle BDC. Le quadrilatère étant convexe, l'angleABC =
> angleABD + angleDBC et on connait alors l'angleABC. L'utilisation de la même
> formule permet de calculer : AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos(ABC).
> Cordialement, GN[/color]
La bonne idée c'est effectivement de passer par la trigo, mais il faut
noter que la formule finale peut être débarrassée des cosinus (merci
mathematica!):

r1 = ABD -> ArcCos[(AB^2 - AD^2 + BD^2)/(2*AB*BD)]
r2 = CBD -> ArcCos[(BC^2 + BD^2 - CD^2)/(2*BC*BD)]
sol = Sqrt[AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*(Cos[ABD]*Cos[CBD] -
Sin[ABD]*Sin[CBD])] /. r1 /. r2 // Simplify

Résultat final:
Sqrt[AB^2 + BC^2 - ((AB^2 - AD^2 + BD^2)*(BC^2 + BD^2 -
CD^2))/(2*BD^2) +
2*AB*BC*Sqrt[1 - (AB^2 - AD^2 + BD^2)^2/(4*AB^2*BD^2)]*
Sqrt[1 - (BC^2 + BD^2 - CD^2)^2/(4*BC^2*BD^2)]]

Test avec un rectangle :
sol /. AB -> 3 /. BC -> 4 /. CD -> 3 /. AD -> 4 /. BD -> 5
donne bien 5 pour l'autre diagonale AC.
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jcp

[Anonyme]

Merci à tous pour vos remarques qui me sont bien utiles. C'est gentil de votre part.

Gibbs.