Fonctions continues

[Anonyme]

Bonjour

Si [a, b] est un segment de R et f : [a, b] ---> R
est une fonction continue, alors f est la limite
uniforme sur [a, b] dune suite (f_n) de fonctions
polynomiales.

C'est un résultat connu. Mais dans la pratique,
quelles sont les manières de construire une telle
suite ? Je connais les polynômes de Bernstein.
Y en a-t-il d'autres ?

Merci d'avance

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
bqt8hv$2688hp$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Bonjour
>
> Si [a, b] est un segment de R et f : [a, b] ---> R
> est une fonction continue, alors f est la limite
> uniforme sur [a, b] dune suite (f_n) de fonctions
> polynomiales.
>
> C'est un résultat connu. Mais dans la pratique,
> quelles sont les manières de construire une telle
> suite ? Je connais les polynômes de Bernstein.
> Y en a-t-il d'autres ?

la convolution est un moyen très important
(f*g(x))=int(f(t)g(x-t)dt t dans I)
f*g possède les meilleures propriétés de f et de g (si g est C^(oo) alors
f*g est C^(oo) etc)
Si tu as une suite de fonctions gn telle que pour tout a, int(I\[-a,a]
abs(gn(t)) dt -->0 quand n-->+oo (on dit que l'on obtient une approximation
de la masse de Dirac) alors il est aisé de vérifier que f*gn converge
uniformémentvers f
Si I=R, tu considères une fonction qui soit de carré intégrable sur R (de
norme L^2=1) et tu introduis gn(x)=sqrt(n)g(nx) (par ex :
g(x)=C*exp(-pi*x^2)
Dans ce cas, tu peux approximer toute fonction L^2 par une une suite de
fonctions C^(oo)
si I=[-1,1], gn(x)=c(n)(1-x^2)^n, tu obtiens le théorème de
Stone-Weïerstrass (le cas général s'y ramenant simplement)
si I=[02*pi] et gn(x)=c(n)sin^2(nx/2)/sin^2(x/2) ou gn(x)=d(n)*cos^(2n)(x)
tu obtiens la densité des polynômes trigo
si tu choisis g C^(k+r) convenable, tu obtiens que toute fonction C^k est
limite d'une suite de fonctions C^(k+r) (la convergence étant uniforme sur
l'ensemble des dérivées d'ordre <=k)
Etc, Etc....

[Anonyme]

Je te remercie pour cette précieuse
mine d'informations. ;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr