Fonction derivable?

[Anonyme]

Bonjour,

on a f une fct f continue monotone par morceaux positive sur [0,1]
pour x=>0, on pose F(x)=int(sqrt(x²+f(t)),t=0..1)

on demande de montrer que F est derivable en 0

alors je forme le taux d'acroissement: d(x)=(F(x)-F(0))/x

d(x)=int(sqrt(x²+f(t))-sqrt(f(t)),t=0..1)

la fct racine carrée est continue derivable sur R+, on a qqsoit a,b de R+ avec
a<b,

sqrt(b)-sqrt(a) <=(b-a)*K avec K=norme infinie de sqrt

j'applique ça à b=x²+f(t) et a=f(t)

j'ai donc I sqrt(x²+f(t))-sqrt(f(t)) I <=x²*K
et (1/x)*int(x²*K,t=0..1) tend vers 0 quand x tend vers 0

donc F est derivable en 0 et F'(0)=0

est ce que c'est bon?

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :
> on a f une fct f continue monotone par morceaux positive sur [0,1]
> pour x=>0, on pose F(x)=int(sqrt(x²+f(t)),t=0..1)

Bête question : pourquoi restreindre la fonction à x >= 0 vu la parité ?
Ah j'ai compris, c'est pour la dérivabilité...

> on demande de montrer que F est derivable en 0
> alors je forme le taux d'acroissement: d(x)=(F(x)-F(0))/x
>
> d(x)=int(sqrt(x²+f(t))-sqrt(f(t)),t=0..1)

C'est "x d(x)" ça

> la fct racine carrée est continue derivable sur R+, on a qqsoit a,b de R+ avec
> a
> sqrt(b)-sqrt(a) <=(b-a)*K avec K=norme infinie de sqrt

C'est quoi la norme infinie ici? Moi je croyais que c'était le "supremum
essentiel" de la fonction mais sqrt n'est pas majorée.
Par exemple pour a = 0 on aurait 1/sqrt(b) <= K ce qui me semble faux si
b est un peu trop petit.

Sinon désolé je sais pas t'aider. Par contre, note que si f(t) = 0 alors
F(x) = x et F'(0) = 1

--
Nico.

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20040209144441.21768.00001770@mb-m06.aol.com...
> Bonjour,
>
> on a f une fct f continue monotone par morceaux positive sur [0,1]
> pour x=>0, on pose F(x)=int(sqrt(x²+f(t)),t=0..1)
La fonction F est continue sur R par le théorème de continuité des
intégrales à paramètre sur un segment.
Tu peux appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale (portant
sur le segment [0,1]).
Tu obtiens que F est dérivable sur R* et pour tout x0,
F'(x)=int(x/sqrt(x²+f(t)),t=0..1).
Si f>0 sur [0,1] donc il existe m>0 tel que f(x)>=m sur [0,1] et tu obtiens
que lim (x-->0, F'(x)) =0 (00 sur [0,1] (car elle
nécessairement croissante car f(0)=0 et f>=0) alors pour tout t dans [0,1]
f(t)>a*t avec a>0
donc 00

Si, f est nulle sur un intervalle du type [0,c[ avec c0 sur [c,1]
Tu casses l'intégrale en deux morceaux sur [0,c[ et sur [c,1].
int(sqrt(x²+f(t)),t=0..c)=abs(x) (car f=0 sur cet intervalle) n'est pas
dérivable en 0 et x-->int(sqrt(x²+f(t)),t=c..1) est dérivable en 0 et sa
dérivée est nulle en ce point.

Dans les autres cas, je ne m'avance pas

Tu as utilisé que abs(sqr(a)-sqrt(b))sqrt(x) est bornée sur
R+* ce qui est faux.
Cette majoration n'est valable que sur des intervalles du type [e,+oo[ en
utilisant le TAF et la norme infinie que tu cites est le sup de la dérivée
de x--sqrt(x) sur [e,+oo[ (ce sup n'existe pas sur ]0,+oo[

Exemple, f(t)=t, alors F(x)=sqrt(x^2)*x^2*int(sqrt(1+t),t=0..1/x^2), la
primitive de t-->sqrt(1+t) est 2/3*(1+t)^(3/2) donc
F(x)=2/3*(x^2)^(3/2)*[(1+1/x^2)^(3/2)-1]=2/3*[(1+x^2)^(3/2)-x^(3/2)] et sa
dérivée en 0 est 0)