Fibonacci et series formelles

[Anonyme]

Dans le cadre d'un exercice, je dois montrer, si possible a l'aide de series
formelles, qu'il existe une infinite de nombre de Fibonacci (Rappel :
F_0=F_1=1, F_(n+2)=F_(n+1)+F_n) se terminant par 4 zeros.

Un petit tip, please ?

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Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

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[Anonyme]

nicolas.naime.pas.les.pouriels.francois@free.fr wrote in message
:
> Dans le cadre d'un exercice, je dois montrer, si possible a l'aide de
> series formelles, qu'il existe une infinite de nombre de Fibonacci
> (Rappel : F_0=F_1=1, F_(n+2)=F_(n+1)+F_n) se terminant par 4 zeros.
>
> Un petit tip, please ?

Il n'y a aucun nombre de Fibonnaci (hormis 0) qui soit divisible par
10 ; regarde la suite modulo 2 puis modulo 5.

--
Yann

[Anonyme]

nicolas.naime.pas.les.pouriels.francois@free.fr wrote in message
:
> Dans le cadre d'un exercice, je dois montrer, si possible a l'aide de series
> formelles, qu'il existe une infinite de nombre de Fibonacci (Rappel :
> F_0=F_1=1, F_(n+2)=F_(n+1)+F_n) se terminant par 4 zeros.
>
> Un petit tip, please ?

Tous les F_{15000*n + 1} se terminent par 4 zéros.



D'habitude, commence la suite à 0, avec u_0 = 0, u_1 = 1,
u_{n+2} = u_{n+1} + u_n

Ce qui a comme avantage que la propriété classique suivante est plus
simple à écrire :
Si n divise m, alors u_n divise u_m (*)
(en fait, on a même que pgcd(u_n,u_m) = u_{pgcd(n,m)})

Dans ce cas, la question revient donc à :
Existe-t-il un n>0 tel que u_n soit divisible par N=10000 ?

Pour N=10^4, je ne vois pas d'argument permettant de conclure
simplement ; en fait, je n'en vois que pour N sans facteur carré, et
premier à 5...

Mais bon, avec Maple, et comme d'après

la réciproque de (*) est vraie, il n'est pas trop difficile de chercher
un peu, et on voit que u_{24*5^4} est bien divisible par 10^4, ce qui
résoud le problème, de manière certes moyennement satisfaisante.


--
Yann

[Anonyme]

Yann Villessuzanne , dans le message
(fr.education.entraide.maths:53795), a écrit :
> Pour N=10^4, je ne vois pas d'argument permettant de conclure
> simplement ; en fait, je n'en vois que pour N sans facteur carré, et
> premier à 5...

De façon générale, on peut définir la suite de Fibonacci dans Z/NZ par
les mêmes formules : F_0 = 0 ; F_1 = 1 ; F_(n+1) = F_n + F_(n-1).
Il faut alors prouver qu'il existe un n non nul tel que F_n = 0.

On remarque directement que l'application (x,y) -> (y,x+y) est bijective
(sur Z/nZ hein). En outre, comme (Z/nZ)^2 est fini, il existe deux
indices m > n tels que (F_n, F_(n+1), F_m, F_(m+1)). Compte tenu de la
remarque précédente, on aura (F_(m-n), F_(m-n+1)) = (F_0, F_1) et donc
F_(n-m) = 0.

Sinon, du moins lorsque N=p est premier (différent de 5), on peut passer
par les corps finis. Dans F_p, F_n est encore donné par la formule
F_n = 1/sqrt(5) * (((1+sqrt(5))/2)^n + ((1-sqrt(5))/2)^n)
où sqrt(5) est défini à la limite dans une extension de F_p. F_n = 0
est alors équivalent à :
((1+sqrt(5))/(1-sqrt(5)))^n = -1
et on est ramené à calculer l'ordre de (1+sqrt(5))/(1-sqrt(5)). Cette
méthode prouve si je ne me trompe par que, lorsque p est premier, le
plus petit n tel que F_n divise p est toujours un diviseur de p^2-1,
et on peut préciser selon la congruence de p modulo 4.