GL_n(R) fermé?

[Anonyme]

Bonjour,

Soit M appartenant à M_n(R)

On sait que I-M est inversible et vaut \sum( M^k , k=0..infini)

Montrer que GL_n(R) est ouvert:

Soit A dans GL_n(R) A=I-(I-A)=I-M
Toute matrice inversible s'écrit donc I-M avec M dans M_n(R)
Soit f : M |-> \sum( M^k , k=0..infini)
L'inverse de f est I-M donc l'image réciproque de f est GL_n(R)
Or il me semble que \sum( M^k , k=0..infini) est fermé en tant que sev de
M_n(R) de dimension finie

Où est l'erreur? f n'est pas continue?

[Anonyme]

"Jean" a écrit dans le message de news:
422b224f$0$16323$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Soit M appartenant à M_n(R)
>
> On sait que I-M est inversible et vaut \sum( M^k , k=0..infini)

Pour que la somme converge, il faut quand même que norme(M) <1, où la norme
est sous-multiplicative...

[Anonyme]

> Bonjour,

Salut,

>
> Soit M appartenant à M_n(R)
>
> On sait que I-M est inversible et vaut \sum( M^k , k=0..infini)
>

Il faudrait peut etre faire attention a ce que la serie converge (prendre
M=2I)

> Montrer que GL_n(R) est ouvert:
>
> Soit A dans GL_n(R) A=I-(I-A)=I-M
> Toute matrice inversible s'écrit donc I-M avec M dans M_n(R)

Pourquoi pas ?

> Soit f : M |-> \sum( M^k , k=0..infini)

Ou est definie f ?

> L'inverse de f est I-M donc l'image réciproque de f est GL_n(R)

Cette phrase ne veut rien dire.

> Or il me semble que \sum( M^k , k=0..infini) est fermé en tant que sev de
> M_n(R) de dimension finie

Quand la serie converge, sa somme est une matrice et surement pas un ssev
de M_n.

>
> Où est l'erreur? f n'est pas continue?

--
Calixte Denizet
Pour m'ecrire, ne regardez pas les étoiles:
c*a*l*i*x*t*e*m*a*n*@*l*i*b*e*r*t*y*s*u*r*f*.*f*r*

[Anonyme]

"Cyberchand" a écrit dans le message de
news:422b26ea$0$3111$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Jean" a écrit dans le message de news:
> 422b224f$0$16323$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Soit M appartenant à M_n(R)
> >
> > On sait que I-M est inversible et vaut \sum( M^k , k=0..infini)
>
> Pour que la somme converge, il faut quand même que norme(M) est sous-multiplicative...[/color]

oui.ça doit etre ça mon erreur, l'image réciproque de f n'est pas GL_n(R)
donc?

[Anonyme]

"Calixte Denizet" a écrit dans le message de
news:d0f93f$b8p$1@news.tiscali.fr...[color=green]
> > Bonjour,
>
> Salut,
>
> >
> > Soit M appartenant à M_n(R)
> >
> > On sait que I-M est inversible et vaut \sum( M^k , k=0..infini)
> >
>
> Il faudrait peut etre faire attention a ce que la serie converge (prendre
> M=2I)
>
> > Montrer que GL_n(R) est ouvert:
> >
> > Soit A dans GL_n(R) A=I-(I-A)=I-M
> > Toute matrice inversible s'écrit donc I-M avec M dans M_n(R)
>
> Pourquoi pas ?
>
> > Soit f : M |-> \sum( M^k , k=0..infini)
>
> Ou est definie f ?
>
> > L'inverse de f est I-M donc l'image réciproque de f est GL_n(R)
>
> Cette phrase ne veut rien dire.
>
> > Or il me semble que \sum( M^k , k=0..infini) est fermé en tant que sev[/color]
de[color=green]
> > M_n(R) de dimension finie
>
> Quand la serie converge, sa somme est une matrice et surement pas un ssev
> de M_n.[/color]

oui en plus. en gros j'ai raconté n'importe quoi. désolé...

[Anonyme]

Jean a utilisé son clavier pour écrire :
> Montrer que GL_n(R) est ouvert:

On peut penser à utiliser l'application qui a une matrice dans Mn(lR)
associe son déterminant.
Ne serait-elle pas continue ?
De quoi GLn(lR) est-il l'image réciproque par cette application ?