Fct sur un cxve de Rn...

[Anonyme]

Bonjour, il y a une nouvelle lecon en agreg interne:
Fonctions definies sur une partie convexe de Rn. Inégalités des
accroissements finis. Applications.

Je ne trouve rien sur les fonctions definies sur une partie convexe; sur
connexe ou convexe etoilé, a la rigueur... pouvez-vous m'aider? Avez-vous un
ouvrage?
merci!!!

[Anonyme]

artie est un peu perdu:

> Fonctions definies sur une partie convexe de Rn. Inégalités des
> accroissements finis. Applications.

Le mot clé est : inégalité des accroissements finis.

Pour pouvoir appliquer l'inégalité des accroissements finis à une
fonction définie sur un domaine de Rn, il importe que chaque couple
point du domaine de définition soit relié par un segment, bref : que le
domaine de définition soit convexe.

e.g : la fonction logarithme, définie sur C\R^-. Les points -1-ei et
-1+ei ne sont pas reliés par un segment (puisqu'il coupe la demi droite
R-, donc on ne peut pas appliquer l'inégalité des accroissements finis,
qui nous dirait que log(-1-ei)-log(-1+ei) est de l'ordre de e (donc tend
vers 0 lorsque e tend vers 0), alors que chacun sait qu'il y a justement
une discontinuité de 2i\pi lorsque l'on traverse l'axe R-.

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

merci bien,
cela me rassure, mais je ne comprends pas vraiment pourquoi le lecon n est
pas directement: inegalité des accroissements finis pour les fonctions
definies sur un convexe de Rn, applications.

Pour les applications, a part le fait de pouvoir etre une fcte contractante,
y aurait-il d autres applications?
merci!


"Benoit Rivet" a écrit dans le message news:
1gmz88g.1up0omafn33ioN%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> artie est un peu perdu:
>[color=green]
> > Fonctions definies sur une partie convexe de Rn. Inégalités des
> > accroissements finis. Applications.
>
> Le mot clé est : inégalité des accroissements finis.
>
> Pour pouvoir appliquer l'inégalité des accroissements finis à une
> fonction définie sur un domaine de Rn, il importe que chaque couple
> point du domaine de définition soit relié par un segment, bref : que le
> domaine de définition soit convexe.
>
> e.g : la fonction logarithme, définie sur C\R^-. Les points -1-ei et
> -1+ei ne sont pas reliés par un segment (puisqu'il coupe la demi droite
> R-, donc on ne peut pas appliquer l'inégalité des accroissements finis,
> qui nous dirait que log(-1-ei)-log(-1+ei) est de l'ordre de e (donc tend
> vers 0 lorsque e tend vers 0), alors que chacun sait qu'il y a justement
> une discontinuité de 2i\pi lorsque l'on traverse l'axe R-.
>
> --
> Benoît RIVET[/color]

[Anonyme]

artie wrote:

> Pour les applications, a part le fait de pouvoir etre une fcte contractante,
> y aurait-il d autres applications?

On peut penser aux développements en série entière (rayon de convergence
d'une série, fonction analytiques, fonctions holomorphes), où la
convergence de la série entière se démontre en utilisant les
accroissements finis.

On peut illustrer l'importance des hypothèses en donnant quelques
exemples de fonctions définies sur des domaines non convexes, où l'IAF
ne s'applique pas (e.g : la fonction logarithme complexe).

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

Oui, en effet pour des applications IAF de fcts R dans R (dem du th schwarz,
etre de classe C1 implique differentiable, ...) , je m'y retrouve a peu pres
(je vais regarder de plus pres ln(x) et l'analycité...), mais pour une
application partant de Rn n>1, a part les complexes, auriez-vous une
application qui embellisse ma lecon? Ou par exemple j'utilise le th de
caratheodory sur les convexes?

merci beaucoup

"Benoit Rivet" a écrit dans le message news:
1gn00pk.1xx2wzo1i4qljgN%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> artie wrote:
>[color=green]
> > Pour les applications, a part le fait de pouvoir etre une fcte[/color]
contractante,[color=green]
> > y aurait-il d autres applications?
>
> On peut penser aux développements en série entière (rayon de convergence
> d'une série, fonction analytiques, fonctions holomorphes), où la
> convergence de la série entière se démontre en utilisant les
> accroissements finis.
>
> On peut illustrer l'importance des hypothèses en donnant quelques
> exemples de fonctions définies sur des domaines non convexes, où l'IAF
> ne s'applique pas (e.g : la fonction logarithme complexe).
>
> --
> Benoît RIVET[/color]

[Anonyme]

mince je me suis planté,j 'ai regardé de plus pres cette lecon, mes
application utilisent le TAF et non le IAF... Votre ln sur du non convexe
est vraiment bien venu comme contre exemple!


"artie" a écrit dans le message news:
Wwakd.20387$km5.941128@news20.bellglobal.com...
> Oui, en effet pour des applications IAF de fcts R dans R (dem du th
schwarz,
> etre de classe C1 implique differentiable, ...) , je m'y retrouve a peu
pres
> (je vais regarder de plus pres ln(x) et l'analycité...), mais pour une
> application partant de Rn n>1, a part les complexes, auriez-vous une
> application qui embellisse ma lecon? Ou par exemple j'utilise le th de
> caratheodory sur les convexes?
>
> merci beaucoup
>
> "Benoit Rivet" a écrit dans le message
news:
> 1gn00pk.1xx2wzo1i4qljgN%benoit.rivet@libre.fr.invalid...[color=green]
> > artie wrote:
> >[color=darkred]
> > > Pour les applications, a part le fait de pouvoir etre une fcte[/color]
> contractante,[color=darkred]
> > > y aurait-il d autres applications?
> >
> > On peut penser aux développements en série entière (rayon de convergence
> > d'une série, fonction analytiques, fonctions holomorphes), où la
> > convergence de la série entière se démontre en utilisant les
> > accroissements finis.
> >
> > On peut illustrer l'importance des hypothèses en donnant quelques
> > exemples de fonctions définies sur des domaines non convexes, où l'IAF
> > ne s'applique pas (e.g : la fonction logarithme complexe).
> >
> > --
> > Benoît RIVET[/color]
>
>[/color]