Extraction de racine nième "à la main"

[Anonyme]

Bonjour,

Les algorithmes d'extraction de racine carrée à la main sont connus
(méthode de la potence entres autres), idem pour la racine cubique (on
retrouve d'excellentes descriptions dans des manuels de calcul édités
vers 1900).
Je sais qu'un mathématicien (hollandais je crois) avait publié des
méthodes type potence pour les ordres supérieurs (5 et 7) mais je ne
conais plus le nom ni les méthodes.

Si vous avez des précisions à ce sujet...
Julien

[Anonyme]

Julien wrote:

> Bonjour,
>
> Les algorithmes d'extraction de racine carrée à la main sont connus
> (méthode de la potence entres autres), idem pour la racine cubique (on
> retrouve d'excellentes descriptions dans des manuels de calcul édités
> vers 1900).
> Je sais qu'un mathématicien (hollandais je crois) avait publié des
> méthodes type potence pour les ordres supérieurs (5 et 7) mais je ne
> conais plus le nom ni les méthodes.

Il me semble que, pour extraire une racine à la main, le plus simple est
d'utiliser la méthode de Newton. Si on connait une valeur approchée x de
la racine n-ième de y, une valeur plus exacte est donnée par x+e, où :

y = x^n+n.x^(n-1).e

En développant :
(x+e)^n = x^n+n.x^(n-1).e+...
et en négligeant les termes en e^2.

On calcule donc :

e = (y-x^n)/(n.x^(n-1))

(x+e)=(y+(n-1)x^n)/(n.x^(n-1))

et on itère le procédé, qui converge vers la racine n-ième de y pourvu
que l'on parte d'une valeur x convenable.

La méthode de la potence telle qu'elle est décrite, par exemple sur
, est _exactement_ la méthode
de Newton, appliquée décimale par décimale. Notez que plus on avance
dans les calculs, plus on peut calculer de décimales simultanément. Si
on connait 10 décimales de racine(2), en appliquant la méthode de
Newton, on peut calculer 9 ou 10 décimales de plus d'un seul coup.
L'erreur que l'on fait est en effet de l'ordre de e^2 : si e est
inférieur à 10^10, e^2 est inférieur à 10^20.

Ceci dit, le calcul des décimales à la main par la méthode de la potence
est pénible dès la troisième décimale, pour une racine carrée, et le
devient de plus en plus si on cherche à extraire des racines d'ordre
supérieur.

--
Benoît RIVET