Est-ce une circonférence ou une ellipse ?

[Anonyme]

Salut

Tout en étudiant des livres de géométrie analytique, je me suis posé
une question : comment sait-on d'avance devant une expression du type
x^2+y^2+ax+by+c=0, s'il s'agit d'une circonférence ou d'une ellipse ?

Et pourquoi ça ? Parce qu'on doit appliquer des formules différentes
aux deux pour aboutir à la solution adéquate à leur représentation sur
plan cartésien.

Par exemple comment savoir, avant d'appliquer les formules, laquelle
de ces deux expressions 2x^2+2y^2+x+2y+1=0 et 16x^2+9y^2-64x-54y+1=0
correspond à une ellipse et laquelle correspond à une circonférence ?
(En ce qui concerne ces deux expressions algébriques je sais la
solution parce que les ai prises dans des livres de géométrie)

Merci

Zall

[Anonyme]

Zall wrote:

> Tout en étudiant des livres de géométrie analytique, je me suis posé
> une question : comment sait-on d'avance devant une expression du type
> x^2+y^2+ax+by+c=0, s'il s'agit d'une circonférence ou d'une ellipse ?

Tes deux expressions sont de la forme

Ax"+ By" + Cx + Dy + E = 0 (je note x" le carré de x c'est plus lisible)

Si A=B en divisant par A, tu obtient une équation réduite de la forme

x" + y" + 2cx + 2dy + e = 0

que tu peux écrire sous forme canonique

(x+c)" + (y+d)" = c" + d" - e

Si c" + d"- e est positif, c'est l'équation d'un cercle
de centre (-c; -d) et de rayon racine (c"2 + d" - e)

Si A et B sont différents mais de même signe, un travail semblable
t'amème à l'équation d'une ellipse (moyennant conditions).

Si ils sont de signes contraires ce sera une hyperbole.

> Par exemple comment savoir, avant d'appliquer les formules, laquelle
> de ces deux expressions 2x"+2y"+x+2y+1=0 et 16x"+9y"-64x-54y+1=0
> correspond à une ellipse et laquelle correspond à une circonférence ?

Les formules sont en fait les mêmes, mais c'est un peu plus simple dans
le cas du cercle, l'idée est de mettre sous forme canonique, de façon à
faire apparaître un changement de repère kivabien.
la première équation n'a pas de solutions car
elle équivaut successivement à :

x" + y" + x/2 + y + 1/2 = 0
(x + 1/4)" + (y + 1/2)" -1/16 -1/4 +1/2 = 0
(x + 1/4)" + (y + 1/2)" =1/16 +1/4 -1/2 = -3/16, ce qui est impossible

mais en partant de
2x"+ 2y"+ x+ 2y - 1 = 0 tu aurais obtenu un cercle.

pour la seconde, elle est successivement équivalente à
16 (x" - 4x)+9 (y"- 6y) +1=0
16 [(x - 2)" - 4]+9 [(y - 3)"-9] +1=0
16 (x - 2)" - 64+9 (y - 3)"- 81+1=0
16 (x - 2)" +9 (y - 3)"=64 + 81- 1
16 (x - 2)" +9 (y - 3)"=144
(x - 2)"/9 + (y - 3)"/16=1

soit, en posant x - 2 = X et y - 3 = Y
X"/9 + Y"/16 = 1

équation réduite d'une ellipse, centrée en (2;3) dans ton repère
d'origine, dont l'axe focal est parallèle à l'axe des ordonnées, et de
grand axe 8, et de petit axe 6.

--
Des fois je m'assois et je pense, des fois je m'assois seulement

[Anonyme]

Merci Raoul de ton explication.
Zall