Espaces vectoriels

[Anonyme]

Bonjour

Voici un exercice que je ne comprend pas :

Soit E un K-e.v. de dim finie et (f_1, ... , f_p)
une famille de p formes linéaires sur E.

Soit g une forme linéaire sur E telle que pour
tout vecteur v de E : f_i(v) = 0 => g(v) = 0.

Montrer que g est combinaison linéaire des f_i.

Moi j'arrive à démontrer que g est nulle. Et je
ne vois pas mon erreur ...

Merci d'avance,

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Tue, 30 Sep 2003 17:54:24 +0100,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:

> Soit E un K-e.v. de dim finie et (f_1, ... , f_p)
> une famille de p formes linéaires sur E.
>
> Soit g une forme linéaire sur E telle que pour
> tout vecteur v de E : f_i(v) = 0 => g(v) = 0.
>
> Montrer que g est combinaison linéaire des f_i.
>
> Moi j'arrive à démontrer que g est nulle. Et je
> ne vois pas mon erreur ...

Si tu ne donnes pas ta démo, on ne peut pas te dire où tu t'es trompé.
Mais en tout cas, si tu choisis des f_i toutes égales à g, tu auras ton
implication quelle que soit g, donc même si g est non nulle.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux a écrit
> Si tu ne donnes pas ta démo, on ne peut pas te
> dire où tu t'es trompé.

Voià mon raisonnement :

De la famille des f_i on peut extraire une famille libre de
q formes linéaires (q g(v) = 0
on a Ker(f_1) inclus dans Ker(g).

Si g est non nulle Ker(g) est de dimension n-1.

Ker(f_1) et Ker(g) sont alors deux s.e.v. de même dimension
donc Ker(f_1) = Ker(g).

Or deux formes linéaires qui ont le même noyau sont colinéaires
d'où g = a_1 * f_1 (a_1 est un scalaire)

Si on s'arrête là tout va bien, mais si la famille F contient une
autre forme linéaire, on obtient de même g = a_2 * f_2
ce qui est impossible puisque f_1 et f_2 ne sont pas colinéaires.

D'où g = 0.

Où est l'erreur ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Tue, 30 Sep 2003 18:29:57 +0100,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:

> D'où g = 0.

De ce que je vois, il n'y en a pas, sauf que tu as supposé qu'il y avait
au moins deux formes linéairement indépendantes. S'il y en a qu'une,
alors g est colinéaire à celle-là. Sinon, en effet, elle est nulle.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux a écrit
> De ce que je vois, il n'y en a pas, sauf que tu as supposé qu'il y avait
> au moins deux formes linéairement indépendantes. S'il y en a qu'une,
> alors g est colinéaire à celle-là. Sinon, en effet, elle est nulle.

Cela me rassure. L'exercice était donné pour "difficile",
et la démonstration est effectivement assez longue pour
démontrer que g est combinaison linéaire des f_i, mais
elle ne conclut pas que g est nulle. C'est sûrement une
erreur de l'auteur.

Merci beaucoup,

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Tue, 30 Sep 2003 20:03:35 +0200,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:

> Nicolas Le Roux a écrit[color=green]
> > De ce que je vois, il n'y en a pas, sauf que tu as supposé qu'il y avait
> > au moins deux formes linéairement indépendantes. S'il y en a qu'une,
> > alors g est colinéaire à celle-là. Sinon, en effet, elle est nulle.
>
> Cela me rassure. L'exercice était donné pour "difficile",
> et la démonstration est effectivement assez longue pour
> démontrer que g est combinaison linéaire des f_i, mais
> elle ne conclut pas que g est nulle. C'est sûrement une
> erreur de l'auteur.[/color]

Bah, si elle est nulle, c'est bien une combinaison linéaire des f_i,
donc le présenter comme ça permet de généraliser. M'enfin, il faut pas
prendre pour argent comptant tout ce que je dis.

--
Genji, qui dit aussi beaucoup de conneries.
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard