Equations différentielles

[Anonyme]

Soit l'équation (E) : y² - 2y = x.e^x

1. Résoudre l'eq. différentielle (E0) : y² - 2y = 0
2. Déterminer les réels a et b tels que la fonction u définie par
u(x) = (ax +b). e^x
soit solution de l'équation (E).
3. Montrer que v est solution de E0 si et seulement si u+v et solution de E
4. En déduire l'ensemble des solutions de E
5. Déterminer la solution de E qui s'annule en 0


1. y' = 2y
De la forme y = ay, doc les solutions sont fk (x) = k. e^(2x)

2. y' = 2y + x.e^x

fk (x) = k. e^(2x) - (x.e^x) / 2 = (e^x). (k.e^x -x/2)

(ax +b). e^x = (e^x). (k.e^x -x/2)

Identification :
a = -1/2
b = k. e^x


3. u+v = (ax +b). e^x = (e^x). (k.e^x -x/2)

Mais je ne sais pas comment faire.

4.

5.
(e^x). (k.e^x -x/2) = 0

e^x différent de 0
Donc :
(k.e^x -x/2) = 0

x = 2.k*(e^x)


Mais je ne vois pas tout à fait comment faire.
Merci

[Anonyme]

Alexandre a écrit :
> 1. y' = 2y
> De la forme y = ay, doc les solutions sont fk (x) = k. e^(2x)

Ok.

> 2. y' = 2y + x.e^x
>
> fk (x) = k. e^(2x) - (x.e^x) / 2 = (e^x). (k.e^x -x/2)
>
> (ax +b). e^x = (e^x). (k.e^x -x/2)

Je ne comprends pas très bien ta méthode.
Il faut calculer u', et écrire que u vérfie (E) si et seulement si :
u'(x)-2*u(x) = x*exp(x)
et simplifier cette condition.

> Identification :
> a = -1/2
> b = k. e^x

Non.
a et b ne doivent pas dépendre de x !

J'ai trouvé : u vérifie (E) a=b=-1.

> 3. u+v = (ax +b). e^x = (e^x). (k.e^x -x/2)

??

> Mais je ne sais pas comment faire.

Dans cette question, et dans les suivantes, on suppose que a et b ont
les valeurs précédemment déterminées, c'est-à-dire que u est solution
de (E) (l'énoncé n'est pas très précis à ce sujet).

v est solution de (E0)
v'(x) - 2*v(x) = 0
v'(x) - 2*v(x) + [u'(x) - 2*u(x)] = x*exp(x)
(j'ai bien rajouté dans chaque membre de l'égalité la même chose, car u
est solution de (E))
[v'(x)+u'(x)] - 2*[v(x)+u(x)] = x*exp(x)
Et la dérivée d'une somme et la somme des dérivées, etc.

> 4.
>
> 5.
> (e^x). (k.e^x -x/2) = 0
>
> e^x différent de 0
> Donc :
> (k.e^x -x/2) = 0
>
> x = 2.k*(e^x)

??

> Mais je ne vois pas tout à fait comment faire.

Bon, les solutions de (E) sont exactement les fonctions qui s'écrivent
sous la forme u+v où v est une solution de (E0),
c'est-à-dire :
f est solution de (E)
il existe lambda réel, tel que :
pour tout x dans lR, f(x) = (-x-1)*exp(x) +lambda*exp(2x)

Une telle solution f vérifie f(0)=0 ... trouver la valeur de
lambda.

[Anonyme]

On Tue, 08 Mar 2005 19:06:19 +0100, Alexandre wrote:

>Soit l'équation (E) : y² - 2y = x.e^x
>
>1. Résoudre l'eq. différentielle (E0) : y² - 2y = 0
>2. Déterminer les réels a et b tels que la fonction u définie par
>u(x) = (ax +b). e^x
>soit solution de l'équation (E).
>3. Montrer que v est solution de E0 si et seulement si u+v et solution de E
>4. En déduire l'ensemble des solutions de E
>5. Déterminer la solution de E qui s'annule en 0
>
>
>1. y' = 2y
>De la forme y = ay, doc les solutions sont fk (x) = k. e^(2x)
ok
>2. y' = 2y + x.e^x

>fk (x) = k. e^(2x) - (x.e^x) / 2 = (e^x). (k.e^x -x/2)
>
>(ax +b). e^x = (e^x). (k.e^x -x/2)
>
>Identification :
>a = -1/2
>b = k. e^x
non , d'ailleurs b n'est pas une constante
il faut dasn y' = 2y + x.e^x
remplacer y par (ax +b). e^x
et chercher les constantes a et b pour que ca marche
(après dérivation de (ax +b). e^x et report dans E
tu verras qu'on peut faire disparaître les exponentielles)
>3. u+v = (ax +b). e^x = (e^x). (k.e^x -x/2)
>
>Mais je ne sais pas comment faire.
il faut écrire ce que les choses veulent dire
u+v est solution de E veut dire
(u+v)'-2(u+v)=xe^x
ce qui équivaut à u'-2u+v'-2v=xe^x
or u a été choisie de façon à vérifier E donc...
il va rester v'-2v=0
>4.
d'après 3
les sol de E s'écrivent y= u+v avec v sol géné de E0
or u est connu ainsi que la sol géné v de E0
>5.
>(e^x). (k.e^x -x/2) = 0
>
>e^x différent de 0
>Donc :
>(k.e^x -x/2) = 0
>
>x = 2.k*(e^x)
on veut y(0)=0
donc dans la formule de la sol géné de E trouvée en 4)
tu remplaces x par 0 et ca doit faire 0
ce qui va te donner une équation d'inconnue k
et donc tu vas trouver une valeur particulière pour k

>
>Mais je ne vois pas tout à fait comment faire.
>Merci

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

Wahoo, merci !
Petit problème, puisque visiblement, nous n'avions pas la méthode..
Voilà, c'est résolu.

Merci