équation matricielle : une petite précision

[Anonyme]

Bonjour,
en cherchant à résoudre dans M_n(R) l'équation matricielle X²+X=A où A est
une matrice diagonalisable à deux valeurs propres distinctes je me suis
ramené à la forme Y²+Y=D où D est diagonale. La en lisant une correction je
vois l'affirmation que Y est diagonale car YD=DY. L'argument étant que le
commutant d'une matrice A dont les valeurs propres sont distinctes est K[A].
Je ne vois pas le lien entre les deux je sais effectivement que le commutant
d'une matrice A dont les valeurs propres sont distinctes est K[A] mais je ne
vois pas pourquoi Y serait un polynôme en D ?? ( on a bien entendu
Y=P^(-1)XP où P est une matrice de passage telle que D=P^(-1)AP ) si
quelqu'un pouvait m'eclairer svp ...

[Anonyme]

oups une petite coquille on est pas dans M_n(R) mais M_2(R) ( d'où les 2
valeurs propres distinctes )

[Anonyme]

On Sat, 26 Jun 2004 15:37:17 +0200, "garfield"
wrote:

>Bonjour,
>en cherchant à résoudre dans M_n(R) l'équation matricielle X²+X=A où A est
>une matrice diagonalisable à deux valeurs propres distinctes je me suis
>ramené à la forme Y²+Y=D où D est diagonale. La en lisant une correction je
>vois l'affirmation que Y est diagonale car YD=DY. L'argument étant que le
>commutant d'une matrice A dont les valeurs propres sont distinctes est K[A].
>Je ne vois pas le lien entre les deux je sais effectivement que le commutant
>d'une matrice A dont les valeurs propres sont distinctes est K[A] mais je ne
>vois pas pourquoi Y serait un polynôme en D ?? ( on a bien entendu
>Y=P^(-1)XP où P est une matrice de passage telle que D=P^(-1)AP ) si
>quelqu'un pouvait m'eclairer svp ...
à vria dire je ne vais pas répondre à ta question .......
mais vu que c'est en dim 2
en posant
Y=
a b
c d
Y^+Y=D donne tout de suite
b(a+d+1)=c(a+d+1)=0 et
a^2+a+bc=vp_1
d^2+d+bc=vp_2
donc par diff (a-d)(a+d+1)=vp_1-vp_2
donc a+d+1 non nul
donc b=c=0 et Y est diago

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

oui effectivement c'est ce que j'avais fait pour m'en convaincre mais en
fait ce que je ne comprends pas c'est l'argument proposé dans la correction
( en fait il y avait les 2 cela disait : soit on fait un calcul pour s'en
convaicre soit on utilise l'histoire du commutant que j'ai posté plus
haut ). Mais en fait je me suis trompé dans la logique ce n'est pas le fait
que Y soit un polynôme en D qu'il faut prouver mais plutot que YD=DY et de
cela on en déduit que Y est un polynôme en D donc diagonale elle-même mais
je ne vois toujours pas de raison évidente au fait que YD=DY et là même un
calcul ne sauve pas car multiplier à droite et à gauche par une matrice
diagonale n'a pas les mêmes effets vu que la matrice n'est pas de la forme
lambda*I_2. Donc en fait ma question c'est plutôt pourquoi a-t-on YD=DY ?

[Anonyme]

garfield wrote:

> oups une petite coquille on est pas dans M_n(R) mais M_2(R) ( d'où les 2
> valeurs propres distinctes )
>
>
>

Si Y est une solution alors YD=Y^3+Y^2=DY, puisque comm(D)=K[D] et que
Y\in comm(D), on en deduit que Y=P(D) ou P\in K[X]. Or un polynome
d'endo. diag est encore un endo. diag donc Y est diag.

Calixte

[Anonyme]

oula oui merci je dois etre vraiment tres fatigué pour avoir raté ca, merci
et désolé du dérangement...