Equation fonctionnelle

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.

Je vois bien que pour tout t et tout n entier on a f(t) = f(t/2^n)^(2n), et
que si je fais tendre n vers l'infini f(t/2^n) tend vers f(0)=1, mais vu
qu'il y a le puissance 2n, je n'ai pas le droit de conclure comme ca
n'est-ce pas ?

Vous savez comment je peux faire ?

Merci.

--
LeDuc

"La vie est une maladie mortelle sexuellement
transmissible."

[Anonyme]

"Le Duc" a écrit

> J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
> f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.

C'est faux: l'exponentielle vérifie ça.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de
news:3fae99b1$0$27599$626a54ce@news.free.fr...
> "Le Duc" a écrit
>[color=green]
> > J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
> > f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.
>
> C'est faux: l'exponentielle vérifie ça.[/color]

Okay, je me disais aussi...

J'ai du me tromper plus tot, je reprends tout, merci.

[Anonyme]

Le Duc a écrit
> J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
> f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.

Et pourquoi ne montrerais-tu pas qu'elle est égale à exp(t) ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bom6aq$1em13o$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Le Duc a écrit[color=green]
> > J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
> > f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.
>
> Et pourquoi ne montrerais-tu pas qu'elle est égale à exp(t) ?[/color]

Parceque j'ai besoin qu'elle soit égale à 1 !

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de
news:3fae99b1$0$27599$626a54ce@news.free.fr...
>[color=green]
> > J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
> > f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.
>
> C'est faux: l'exponentielle vérifie ça.[/color]

Et si j'ai à la place f(t) = f(t/2)^4 ?

[Anonyme]

Le Duc écrivait :

> Et si j'ai à la place f(t) = f(t/2)^4 ?

exp(2t) aussi.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

[color=green]
> > Et si j'ai à la place f(t) = f(t/2)^4 ?
>
> exp(2t) aussi.[/color]

Non, exp(2t) ne convient pas

En revenche, exp(t^2) convient

[Anonyme]

"FDH" a écrit dans le message de
news:3faea1dc$0$27016$626a54ce@news.free.fr...
>[color=green]
> > Et si j'ai à la place f(t) = f(t/2)^4 ?[/color]

> exp(t^2) convient

Okay, j'abandonne , mais ca m'embête bien quand même...

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de
news:3fae99b1$0$27599$626a54ce@news.free.fr...
>[color=green]
> > J'ai une fonction f continue, telle que f(0)=1 et pour tout t : f(t) =
> > f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à 1.
>
> C'est faux: l'exponentielle vérifie ça.[/color]

Et au passage, ca se montre comment ?

[Anonyme]

> > > f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à
1.[color=green]
> >
> > C'est faux: l'exponentielle vérifie ça.
>
> Et au passage, ca se montre comment ?[/color]

Parceque pour tous réels x et y, esp(x+y)=exp(x)exp(y).
On peut le montrer en montrant que ln(xy)=ln(x)+ln(y) pour tous réels x,
y>0, en dérivant x->ln(xy) à y fixé par exemple.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de
news:3faea3c1$0$27583$626a54ce@news.free.fr...[color=green][color=darkred]
> > > > f(t/2)^2, et je dois montrer que f est la fonction constante égale à[/color]
> 1.[color=darkred]
> > >
> > > C'est faux: l'exponentielle vérifie ça.
> >
> > Et au passage, ca se montre comment ?[/color]
>
> Parceque pour tous réels x et y, esp(x+y)=exp(x)exp(y).
> On peut le montrer en montrant que ln(xy)=ln(x)+ln(y) pour tous réels x,
> y>0, en dérivant x->ln(xy) à y fixé par exemple.[/color]

Oui, oui, pardon, je voulais dire, si j'ai f(t) = f(t/2)^2 dans les
conditions précédentes, comment puis-je trouver les solutions ? (qui
aparemment sont les exp(a*x))

[Anonyme]

> Oui, oui, pardon, je voulais dire, si j'ai f(t) = f(t/2)^2 dans les
> conditions précédentes, comment puis-je trouver les solutions ? (qui
> aparemment sont les exp(a*x))

Il y a une infinité de solutions (différentes de exp(ax))

Exemple : f(x)=exp(x*cos(2pi/ln(2)*ln |x|)) si x0, f(0)=1
f vérifie f(2x)=f(x)^2
f est continue sur R (en particulier en 0)

[Anonyme]

"FDH" a écrit dans le message de
news:3faec131$0$2806$626a54ce@news.free.fr...
>
> Exemple : f(x)=exp(x*cos(2pi/ln(2)*ln |x|)) si x0, f(0)=1

> f vérifie f(2x)=f(x)^2

Je ne suis pas convaincu de ca. T'es sur que le terme en ln |x| ne chamboule
pas tout ? Ca m'en a tout l'air en tout cas.

[Anonyme]

[color=green]
> > Exemple : f(x)=exp(x*cos(2pi/ln(2)*ln |x|)) si x0, f(0)=1
>
> > f vérifie f(2x)=f(x)^2
>
> Je ne suis pas convaincu de ca. T'es sur que le terme en ln |x| ne[/color]
chamboule
> pas tout ? Ca m'en a tout l'air en tout cas.
>
>

Vérifie si tu n'es pas convaincu (c'est facile)
Le mélange de cos(...ln |x|) est là pour "périodiser multiplicativement" la
fonction, il est invariant si on change x en 2x

J'ai pensé à cette fonction car je viens de donner l'exercice suivant à mes
élèves :
1)Montrer que si f : R->R est continue en 0 et vérifie pour tout x,
f(2x)=f(x), alors f est constante
2)Trouver une fonction f : R*+->R non constante qui vérifie pour tout x,
f(2x)=f(x)

Réponse au 2) : f(x)=cos(2pi/ln(2)*ln(x))
Mais une telle fonction n'est évidemment pas prolongeable par continuité en
0, sinon ça contredirait le 1)

Sur ce, je vais me coucher

[Anonyme]

"FDH" a écrit dans le message de
news:3faecdce$0$230$626a54ce@news.free.fr...
>[color=green][color=darkred]
> > > Exemple : f(x)=exp(x*cos(2pi/ln(2)*ln |x|)) si x0, f(0)=1
> >
> > > f vérifie f(2x)=f(x)^2
> >
> > Je ne suis pas convaincu de ca. T'es sur que le terme en ln |x| ne[/color]
> chamboule
> > pas tout ? Ca m'en a tout l'air en tout cas.
> >
> >
>
> Vérifie si tu n'es pas convaincu (c'est facile)
> Le mélange de cos(...ln |x|) est là pour "périodiser multiplicativement"[/color]
la
> fonction, il est invariant si on change x en 2x

Okay, j'ai vu. Effectivement. Va donc falloir que je laisse tomber mon
problème...

[Anonyme]

Le Sun, 9 Nov 2003 20:43:01 +0100, Duc
Le grava à la saucisse
Le et au marteau:

> Vous savez comment je peux faire ?

C'est quoi le problème initial ?

--
Nicolas

[Anonyme]

"Nicolas Le Roux" a écrit dans le message de
news:slrnbqtkf6.ld7.nicolas@zen.via.ecp.fr...
>
> C'est quoi le problème initial ?

Ben je suis toujours dans les probas :

phi est la fonction caractéristique d'une v.a. X, et j'ai montré que phi(2t)
= phi(t)^3 * phi(-t), avec phi(t) !=0 pour tout t

Puis on pose f(t) = phi(t) / phi(-t). D'où le f(t) = f(t/2)^2

Comme je dois montrer que phi est réelle (i.e. phi(t) = phi(-t)), j'aimerais
bien que f(t)=1...