Equation fonctionnelle

[Anonyme]

Bonjour j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cette equation
Trouver tous les P appartenant R[X] tels que P(X)=P(1-X)
Merci de votre aide

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
42579bc6$0$25052$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cette equation
> Trouver tous les P appartenant R[X] tels que P(X)=P(1-X)
> Merci de votre aide
>
Sauf erreur très possible, c'est le sous espace de R[x] engendré par les
polynômes ci-dessous, dont la loi de formation ne me saute pas aux yeux.

1,
x^2 - x,
x^4 - 2*x^3 + x,
x^6 - 3*x^5 + 5*x^3 - 3*x,
x^8 - 4*x^7 + 14*x^5 - 28*x^3 + 17*x,
x^10 - 5*x^9 + 30*x^7 - 126*x^5 + 255*x^3 - 155*x,
x^12 - 6*x^11 + 55*x^9 - 396*x^7 + 1683*x^5 - 3410*x^3 + 2073*x,
x^14 - 7*x^13 + 91*x^11 - 1001*x^9 + 7293*x^7 - 31031*x^5 +
62881*x^3 -38227*x,
x^16 - 8*x^15 + 140*x^13 - 2184*x^11 + 24310*x^9 - 177320*x^7 +
754572*x^5 - 1529080*x^3 + 929569*x,
x^18 - 9*x^17 + 204*x^15 - 4284*x^13 + 67626*x^11 - 753610*x^9 +
5497596*x^7 - 23394924*x^5 + 47408019*x^3 - 28820619*x,
x^20 - 10*x^19 + 285*x^17 - 7752*x^15 + 164730*x^13 - 2603380*x^11 +
29015090*x^9 - 211668360*x^7 + 900752361*x^5 - 1825305870*x^3 +
1109652905*x,
....

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Stéphane Ménart wrote:
>
> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 42579bc6$0$25052$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
>> Bonjour j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cette equation
>> Trouver tous les P appartenant R[X] tels que P(X)=P(1-X)
>> Merci de votre aide
>>
> Sauf erreur très possible, c'est le sous espace de R[x] engendré par les
> polynômes ci-dessous, dont la loi de formation ne me saute pas aux yeux.[/color]

Les polynomes (X-1/2)^2n, pour n dans N, n'engendrent ils pas le sev
cherché ?


--
albert

[Anonyme]

Je dirais que l'espace est plus vaste.

Si a est racine de P, 1-a aussi. Donc P s'écrit nécessairement sous la
forme:
P(X) = k * prod( (X-a_i)(X+1-a_i), i=1..p) * (X-1/2)^(q)
où a_i est l'ensemble des racines de P différentes de 1/2 et q pair.
En effet si q est impair, P(1-X) = -P(X).
La condition nécessaire est également suffisante.

Par exemple P(X) = (X-2)(X+1) est dans l'espace et ne s'écrit pas en
fonction de X(1-X).

[Anonyme]

"albert junior" a écrit
> Les polynomes (X-1/2)^2n, pour n dans N, n'engendrent ils pas le sev
> cherché ?

Oui, tu as raison.

Soit P(X) = a*X^2n + b*X^(2n-1) + (termes de degré <) un polynôme de
degré 2n au plus vérifiant l'équation.
P(1-X) = a(1-X)^2n + b(1-X)^(2n-1) + (termes de degré <) = aX^2n -
(2na+b)X^(2n-1) + (termes de degré <).
On a donc b = - 2na - b c'est-à-dire b = -na.

Soit maintenant Q(X) = P(X) - a(X-1/2)^2n.
Q est de degré 2n - 2 au plus (d'après ce qui précède), et vérifie
l'équation fonctionnelle. Par récurrence, Q est combinaison linéaire de
(X-1/2)^2k pour k compris entre 0 et n-1, ce qui permet de conclure.

(Il y a peut-être plus rapide.)

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Stéphane Ménart wrote:

> Soit P(X) = a*X^2n + b*X^(2n-1) + (termes de degré degré 2n au plus vérifiant l'équation.
> P(1-X) = a(1-X)^2n + b(1-X)^(2n-1) + (termes de degré (2na+b)X^(2n-1) + (termes de degré On a donc b = - 2na - b c'est-à-dire b = -na.
>
> Soit maintenant Q(X) = P(X) - a(X-1/2)^2n.
> Q est de degré 2n - 2 au plus (d'après ce qui précède), et vérifie
> l'équation fonctionnelle. Par récurrence, Q est combinaison linéaire de
> (X-1/2)^2k pour k compris entre 0 et n-1, ce qui permet de conclure.
>
> (Il y a peut-être plus rapide.)

C'est également ce que j'avais fait.

[Anonyme]

Shiva wrote:
> Je dirais que l'espace est plus vaste.
>
> Si a est racine de P, 1-a aussi. Donc P s'écrit nécessairement sous la
> forme:
> P(X) = k * prod( (X-a_i)(X+1-a_i), i=1..p) * (X-1/2)^(q)
> où a_i est l'ensemble des racines de P différentes de 1/2 et q pair.
> En effet si q est impair, P(1-X) = -P(X).
> La condition nécessaire est également suffisante.
>
> Par exemple P(X) = (X-2)(X+1) est dans l'espace et ne s'écrit pas en
> fonction de X(1-X).
>
>
>
De quelle base parles tu ?
(X-2)(X+1) = (X-1/2)^2 - 9/4

Comme Stéphane Ménart l'a fait on peut montrer par récurrence que la
famille des (X-1/2)^2n est une base de cet ev.


--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:
> Stéphane Ménart wrote:
>[color=green]
>> Soit P(X) = a*X^2n + b*X^(2n-1) + (termes de degré > degré 2n au plus vérifiant l'équation.
>> P(1-X) = a(1-X)^2n + b(1-X)^(2n-1) + (termes de degré > (2na+b)X^(2n-1) + (termes de degré > On a donc b = - 2na - b c'est-à-dire b = -na.
>>
>> Soit maintenant Q(X) = P(X) - a(X-1/2)^2n.
>> Q est de degré 2n - 2 au plus (d'après ce qui précède), et vérifie
>> l'équation fonctionnelle. Par récurrence, Q est combinaison linéaire
>> de (X-1/2)^2k pour k compris entre 0 et n-1, ce qui permet de conclure.
>>
>> (Il y a peut-être plus rapide.)[/color]

Il y a plus rapide, effectivement :

Soit Q(X) = P(X+1/2)

Alors Q(-X) = P(-X+1/2) = P(1-(X+1/2)) = P(X+1/2) = Q(X)

Ce changement de variable établit donc une bijection entre les
polynômes que tu cherches et les polynômes pairs, qu'on sait être
engendrés par les X^2n. Reste à effectuer le changement de variables
inverse.

> C'est également ce que j'avais fait.

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
42579bc6$0$25052$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Trouver tous les P appartenant R[X] tels que P(X)=P(1-X)
> Merci de votre aide

L'application x-->1-x est une symétrie de R dont le centre est 1/2. Tu
considères alors le changement de variable T = X -1/2 X = T + 1/2 (pour
placer le centre de la symétrie en 0) alors l'équation P(X) = P(1-X) est
équivalente à P(T +1/2) = P(1/2 - T). Ainsi, si tu considères le polynôme
Q(T) = P(1/2+T) alors
Q(-T) = P(1/2-T) = P(1/2+T) = Q(T)
Ainsi, l'égalité P(X) = P(1-X) est équivalente à l'égalité Q(T) = Q(-T)
Ces derniers polynômes sont exactement les polynômes pairs, ce qui implique
qu'ils s'écrivent sous la forme
Q(T) = S(T^2) P(T+1/2) = S( T^2) P(X) = S ( [X-1/2]^2) où S est un
polynôme quelconque.

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
42586563$0$28628$636a15ce@news.free.fr...
> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 42579bc6$0$25052$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> Trouver tous les P appartenant R[X] tels que P(X)=P(1-X)
>> Merci de votre aide
>
> L'application x-->1-x est une symétrie de R dont le centre est 1/2. Tu
> considères alors le changement de variable T = X -1/2 X = T + 1/2
> (pour
> placer le centre de la symétrie en 0) alors l'équation P(X) = P(1-X) est
> équivalente à P(T +1/2) = P(1/2 - T). Ainsi, si tu considères le polynôme
> Q(T) = P(1/2+T) alors
> Q(-T) = P(1/2-T) = P(1/2+T) = Q(T)
> Ainsi, l'égalité P(X) = P(1-X) est équivalente à l'égalité Q(T) = Q(-T)
> Ces derniers polynômes sont exactement les polynômes pairs, ce qui
> implique
> qu'ils s'écrivent sous la forme
> Q(T) = S(T^2) P(T+1/2) = S( T^2) P(X) = S ( [X-1/2]^2) où S est un
> polynôme quelconque.
>
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>[/color]

merci beaucoup pour votre aide pour ma part j'avais utilisé le changement de
variable pour obtenir Q(X)=Q(-X) mais le fait que cette démo soit si courte
m'avait fait croire à une erreur de ma part. J'aurais dû d'abord vous
présenter ma démo plutôt que de poser la question de cette manière. Je le
saurai pour la prochaine fois !!

>