Equation différentielle avec Laplace

[Anonyme]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment résoudre cette équation
différentielle avec Laplace ?

y" + 3y' + 2 y = g(t) y(0) = 0 et y'(0) = 1

avec g(t)= {1 si 0 <= t <= 1
{0 sinon

en fait je ne sais pas comment intérpreter les conditions de g(t).

Jacky.

[Anonyme]

"Jacky" a écrit dans le message de news:
bvj4k1$s6l$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment résoudre cette équation
> différentielle avec Laplace ?
>
> y" + 3y' + 2 y = g(t) y(0) = 0 et y'(0) = 1
>
> avec g(t)= {1 si 0 {0 sinon
>
> en fait je ne sais pas comment intérpreter les conditions de g(t).
>
> Jacky.
>
>
>
>
Avec la transformée de Laplace, je ne sais pas comment faire

Voici ma méthode :
Résoudre l'équation homogène : y''+3y'+2y=0 donne y(t)=a.exp(-t)+b.exp(-2t)
Solution particulière de l'équation complète sur [0,1] : y(t)=1/2
Donc la solution cherchée est de la forme :
y(t)=a1.exp(-t)+b1.exp(-2t) si t1
Les constantes ai et bi étant à déterminer.
Pour trouver les constantes a1,a2,b1,b2, on utilise les conditions initiales
y(0)=0 et y'(0)=1
Pour trouver les constantes a3,b3, on utilise le fait que y et y' doivent
être continues en 1

[Anonyme]

Jacky wrote:

> Bonjour,
>
> Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment résoudre cette équation
> différentielle avec Laplace ?
>
> y" + 3y' + 2 y = g(t) y(0) = 0 et y'(0) = 1
>
> avec g(t)= {1 si 0 {0 sinon
>
> en fait je ne sais pas comment intérpreter les conditions de g(t).
>
> Jacky.

Salut,
Bon je suppose que tu sais que pour résoudre par la méthode de laplace il
faut transformer ton y(t) en Y(p) et utiliser donc les conditions initiales
de y(t) pour faire ceci. Ce qui te pose problème apparement ce sont les
conditions sur g(t).
En fait, pour résoudre cette équation, tu vas avoir un polynome en p
multiplié par Y(p) à gauche, et à droite tu auras la transformée de g(t).
La forme qu'on te donne de g(t) te dit que g est la différence de deux
échelons, un échelon de 1 en 0, et un échelon de 1 retardé de 1 soit U(t) -
U(t-1). Vu que tu connais la transformée de laplace de l'echelon, et celle
d'une fonction retardée, tu peux donc déterminé complètement le second
membre, et ainsi déterminé la solution de ton équation en repassant en
temporelle.

--
Anthony FLEURY
Testing can show the presense of bugs, but not their absence.
-- Edsger W. Dijkstra

[Anonyme]

Merci pour ta réponse rapide...

Si ce n'est pas trop abuser, est ce que ceci est correct ?

(P^2Y(P) - PY(0) - Y'(0)) + 3 * (PY(P) - Y(0)) + 2Y(P) = 1/P - (1/P) * exp
(-P)

1 / (1-exp (-P)) * (Y(p) = 1 / (P * (P+1) * (P+2))

Y(P) = (1/2P - 1/(P+1) + 1/2(P+2) * (1 - exp (-P))

y(t) = (1/2 - exp (-t) + (1/2) exp(-2t)) * (1 - u(t-1))

Jacky


"Anthony FLEURY" a écrit dans le message de
news: 401d2862$0$32641$626a54ce@news.free.fr...
> Jacky wrote:
>[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment résoudre cette équation
> > différentielle avec Laplace ?
> >
> > y" + 3y' + 2 y = g(t) y(0) = 0 et y'(0) = 1
> >
> > avec g(t)= {1 si 0 > {0 sinon
> >
> > en fait je ne sais pas comment intérpreter les conditions de g(t).
> >
> > Jacky.
>
> Salut,
> Bon je suppose que tu sais que pour résoudre par la méthode de laplace il
> faut transformer ton y(t) en Y(p) et utiliser donc les conditions[/color]
initiales
> de y(t) pour faire ceci. Ce qui te pose problème apparement ce sont les
> conditions sur g(t).
> En fait, pour résoudre cette équation, tu vas avoir un polynome en p
> multiplié par Y(p) à gauche, et à droite tu auras la transformée de g(t).
> La forme qu'on te donne de g(t) te dit que g est la différence de deux
> échelons, un échelon de 1 en 0, et un échelon de 1 retardé de 1 soit
U(t) -
> U(t-1). Vu que tu connais la transformée de laplace de l'echelon, et celle
> d'une fonction retardée, tu peux donc déterminé complètement le second
> membre, et ainsi déterminé la solution de ton équation en repassant en
> temporelle.
>
> --
> Anthony FLEURY
> Testing can show the presense of bugs, but not their absence.
> -- Edsger W. Dijkstra
>

[Anonyme]

Jacky wrote:

Bon j'espère ne pas me tromper car je suis un peu endormi ce soir !
Déjà que j'ai fait d'ignobles fautes de français dans mon premier message,
désolé !

> Merci pour ta réponse rapide...
>
> Si ce n'est pas trop abuser, est ce que ceci est correct ?
>
> (P^2Y(P) - PY(0) - Y'(0)) + 3 * (PY(P) - Y(0)) + 2Y(P) = 1/P - (1/P) *
> exp (-P)

Hum attention, quand tu transformes en Laplace y''(t) tu as p^2 * Y(p) - p *
y(0) - y'(0) et non des Y(0). C'est les valeurs de ta fonctions en
temporel.

>
> 1 / (1-exp (-P)) * (Y(p) = 1 / (P * (P+1) * (P+2))

Par contre là il te manque un terme. tu as ton y'(0) qui est non nul, et je
ne le retrouve nul part.
au dessus tu as en réecrit et avec y(0) = 0 :
(p^2 + 3*p + 2) Y(p) - 1 = (1-exp(-p)) / p

Si je ne fais pas d'erreurs, et donc tu as un -1 qui va aller sur la droite.

Donc Y(p) = (1 - exp(-p) + p) / (p*(p+1)*(p+2))

>
> Y(P) = (1/2P - 1/(P+1) + 1/2(P+2) * (1 - exp (-P))
>

Attention au parenthésage là, 1/2P je pense que tu voulais mettre 1/(2*P)

> y(t) = (1/2 - exp (-t) + (1/2) exp(-2t)) * (1 - u(t-1))
>

Toujours sous reserve que je fasse une erreur, ca te rajoute un terme 1/((
+1)*(p+2)) à ton Y(p) qui est à redécomposer en éléments simples.

--
Anthony FLEURY
Testing can show the presense of bugs, but not their absence.
-- Edsger W. Dijkstra

[Anonyme]

Je suis d'accord sur chacune de tes remarques. Tu es peut être
endormi...mais toujours plus vigilant que moi ))

Un grand merci !

Bonne soirée

Jacky.
"Anthony FLEURY" a écrit dans le message de
news: 401d4ccf$0$18203$626a54ce@news.free.fr...
> Jacky wrote:
>
> Bon j'espère ne pas me tromper car je suis un peu endormi ce soir !
> Déjà que j'ai fait d'ignobles fautes de français dans mon premier message,
> désolé !
>[color=green]
> > Merci pour ta réponse rapide...
> >
> > Si ce n'est pas trop abuser, est ce que ceci est correct ?
> >
> > (P^2Y(P) - PY(0) - Y'(0)) + 3 * (PY(P) - Y(0)) + 2Y(P) = 1/P - (1/P) *
> > exp (-P)
>
> Hum attention, quand tu transformes en Laplace y''(t) tu as p^2 * Y(p) - p[/color]
*
> y(0) - y'(0) et non des Y(0). C'est les valeurs de ta fonctions en
> temporel.
>[color=green]
> >
> > 1 / (1-exp (-P)) * (Y(p) = 1 / (P * (P+1) * (P+2))
>
> Par contre là il te manque un terme. tu as ton y'(0) qui est non nul, et[/color]
je
> ne le retrouve nul part.
> au dessus tu as en réecrit et avec y(0) = 0 :
> (p^2 + 3*p + 2) Y(p) - 1 = (1-exp(-p)) / p
>
> Si je ne fais pas d'erreurs, et donc tu as un -1 qui va aller sur la
droite.
>
> Donc Y(p) = (1 - exp(-p) + p) / (p*(p+1)*(p+2))
>[color=green]
> >
> > Y(P) = (1/2P - 1/(P+1) + 1/2(P+2) * (1 - exp (-P))
> >
>
> Attention au parenthésage là, 1/2P je pense que tu voulais mettre 1/(2*P)
>
> > y(t) = (1/2 - exp (-t) + (1/2) exp(-2t)) * (1 - u(t-1))
> >
>
> Toujours sous reserve que je fasse une erreur, ca te rajoute un terme 1/((
> +1)*(p+2)) à ton Y(p) qui est à redécomposer en éléments simples.
>
> --
> Anthony FLEURY
> Testing can show the presense of bugs, but not their absence.
> -- Edsger W. Dijkstra
>[/color]

[Anonyme]

Merci pour ta réponse.
Jacky
"FDH" a écrit dans le message de news:
401d247a$0$18206$626a54ce@news.free.fr...
>
> "Jacky" a écrit dans le message de news:
> bvj4k1$s6l$1@news-reader5.wanadoo.fr...[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment résoudre cette équation
> > différentielle avec Laplace ?
> >
> > y" + 3y' + 2 y = g(t) y(0) = 0 et y'(0) = 1
> >
> > avec g(t)= {1 si 0 > {0 sinon
> >
> > en fait je ne sais pas comment intérpreter les conditions de g(t).
> >
> > Jacky.
> >
> >
> >
> >
> Avec la transformée de Laplace, je ne sais pas comment faire
>
> Voici ma méthode :
> Résoudre l'équation homogène : y''+3y'+2y=0 donne[/color]
y(t)=a.exp(-t)+b.exp(-2t)
> Solution particulière de l'équation complète sur [0,1] : y(t)=1/2
> Donc la solution cherchée est de la forme :
> y(t)=a1.exp(-t)+b1.exp(-2t) si t y(t)=a2.exp(-t)+b2.exp(-2t)+1/2 si 0 y(t)=a3.exp(-t)+b3.exp(-2t) si t>1
> Les constantes ai et bi étant à déterminer.
> Pour trouver les constantes a1,a2,b1,b2, on utilise les conditions
initiales
> y(0)=0 et y'(0)=1
> Pour trouver les constantes a3,b3, on utilise le fait que y et y' doivent
> être continues en 1
>
>

[Anonyme]

Bonjour,

Une petite précision,

Est ce que le fait de résoudre l'équation différentielle

y" + 3y' + 2 y = 1 y(0) = 0 et y'(0) = 1

puis calculer

y(t) * [u(t)-u(t-1)] ne revient pas au même que ce que l'on a vu hier soir ?

Jacky.

"Anthony FLEURY" a écrit dans le message de
news: 401d4ccf$0$18203$626a54ce@news.free.fr...
> Jacky wrote:
>
> Bon j'espère ne pas me tromper car je suis un peu endormi ce soir !
> Déjà que j'ai fait d'ignobles fautes de français dans mon premier message,
> désolé !
>[color=green]
> > Merci pour ta réponse rapide...
> >
> > Si ce n'est pas trop abuser, est ce que ceci est correct ?
> >
> > (P^2Y(P) - PY(0) - Y'(0)) + 3 * (PY(P) - Y(0)) + 2Y(P) = 1/P - (1/P) *
> > exp (-P)
>
> Hum attention, quand tu transformes en Laplace y''(t) tu as p^2 * Y(p) - p[/color]
*
> y(0) - y'(0) et non des Y(0). C'est les valeurs de ta fonctions en
> temporel.
>[color=green]
> >
> > 1 / (1-exp (-P)) * (Y(p) = 1 / (P * (P+1) * (P+2))
>
> Par contre là il te manque un terme. tu as ton y'(0) qui est non nul, et[/color]
je
> ne le retrouve nul part.
> au dessus tu as en réecrit et avec y(0) = 0 :
> (p^2 + 3*p + 2) Y(p) - 1 = (1-exp(-p)) / p
>
> Si je ne fais pas d'erreurs, et donc tu as un -1 qui va aller sur la
droite.
>
> Donc Y(p) = (1 - exp(-p) + p) / (p*(p+1)*(p+2))
>[color=green]
> >
> > Y(P) = (1/2P - 1/(P+1) + 1/2(P+2) * (1 - exp (-P))
> >
>
> Attention au parenthésage là, 1/2P je pense que tu voulais mettre 1/(2*P)
>
> > y(t) = (1/2 - exp (-t) + (1/2) exp(-2t)) * (1 - u(t-1))
> >
>
> Toujours sous reserve que je fasse une erreur, ca te rajoute un terme 1/((
> +1)*(p+2)) à ton Y(p) qui est à redécomposer en éléments simples.
>
> --
> Anthony FLEURY
> Testing can show the presense of bugs, but not their absence.
> -- Edsger W. Dijkstra
>[/color]