Equation dans Z/143Z

[Anonyme]

Bonsoir
Pourriez vous m'indiquer la méthode pour résoudre une équation du type
_ _ _
x^2 - 4x +3 = 0 dans Z/143Z

Merci

[Anonyme]

x^2-4x+3=(x-3)(x-1)

donc x^2-4x+3=0 (mod 143) si

x-3=0 (mod 143)
x-1=0 (mod 143)

les solutions sont donc :
x=143k+1
x=143k+3

avec k entier relatif


On Thu, 04 Sep 2003 21:21:17 +0200, un taupin wrote:

>Bonsoir
>Pourriez vous m'indiquer la méthode pour résoudre une équation du type
> _ _ _
>x^2 - 4x +3 = 0 dans Z/143Z
>
>Merci

[Anonyme]

Le Thu, 04 Sep 2003 22:05:01 +0200,
Fab grava à la saucisse et au marteau:

>
>
> x^2-4x+3=(x-3)(x-1)
>
> donc x^2-4x+3=0 (mod 143) si
>
> x-3=0 (mod 143)
> x-1=0 (mod 143)
>
> les solutions sont donc :
> x=143k+1
> x=143k+3
>
> avec k entier relatif

Pas tout a fait quand meme. 143 n'etant pas un nombre premier, Z/143Z
n'est pas un anneau integre. Il y a aussi la possibilite d'avoir:

x-3 = 11 et x-1 = 13 d'ou x = 14 (environ) et x-3 = 130 et x-1 = 132
d'ou x=133.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

"Fab" a écrit dans le message news:
6k6flvshfso5htbabb4dmddm9cuqnj74gr@4ax.com...
>
>
> x^2-4x+3=(x-3)(x-1)
>
> donc x^2-4x+3=0 (mod 143) si
>
> x-3=0 (mod 143)
> x-1=0 (mod 143)
>
> les solutions sont donc :
> x=143k+1
> x=143k+3
>
> avec k entier relatif
>
>

Pas d'accord!
C'est incomplet car 143 n'est pas premier, Z/143 n'est pas intègre
143 = 13 *11

[Anonyme]

Non, il me manque des solutions !

Comme 143=11*13, on peut aussi prendre :
x-1=13k
et x-3 =11k'
avec k et k' entiers relatifs

en soustrayant ces 2 égalités, on obtient :
13k-11k'=-2
d'ou (resolution equation ax+by=c) :
k= -12+13k''
k'= -10+11k''
et donc : x=14+143k'' avec k'' entier relatif


On Thu, 04 Sep 2003 22:05:01 +0200, Fab wrote:

>
>
>x^2-4x+3=(x-3)(x-1)
>
>donc x^2-4x+3=0 (mod 143) si
>
> x-3=0 (mod 143)
> x-1=0 (mod 143)
>
>les solutions sont donc :
>x=143k+1
>x=143k+3
>
>avec k entier relatif
>
>
>On Thu, 04 Sep 2003 21:21:17 +0200, un taupin wrote:
>[color=green]
>>Bonsoir
>>Pourriez vous m'indiquer la méthode pour résoudre une équation du type
>> _ _ _
>>x^2 - 4x +3 = 0 dans Z/143Z
>>
>>Merci[/color]

[Anonyme]

"Fab" a écrit dans le message news:
ib7flvgehiusvf75v3atune2cqmcq2m4qc@4ax.com...
>
> Non, il me manque des solutions !
>
> Comme 143=11*13, on peut aussi prendre :
> x-1=13k
> et x-3 =11k'
> avec k et k' entiers relatifs
>
> en soustrayant ces 2 égalités, on obtient :
> 13k-11k'=-2
> d'ou (resolution equation ax+by=c) :
> k= -12+13k''
> k'= -10+11k''
> et donc : x=14+143k'' avec k'' entier relatif
>
Il manque aussi
x-1=11k
x-3 =13k'