Equation aux dérivées partielles

[Anonyme]

Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis sur une
de ces faces à un flux!

POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne marche
pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens employaient
cette méthode pour cette même équation avec des conditions limites en
température!

Brice

[Anonyme]

"Brice" a écrit dans le message de
news:13172c7.0412020109.49d1f46@posting.google.com...
> Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis sur une
> de ces faces à un flux!
>
> POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne marche
> pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens employaient
> cette méthode pour cette même équation avec des conditions limites en
> température!
>
> Brice

Oui, mais pas pour des conditions sinusoïdales en t imposées en x=0.
Dans votre calcul, on voit que pour x=0, on trouve une exponentielle de t et
non une sinusoïde.

A.J.

[Anonyme]

"A.J." wrote in message news:...
> "Brice" a écrit dans le message de
> news:13172c7.0412020109.49d1f46@posting.google.com...[color=green]
> > Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis sur une
> > de ces faces à un flux!
> >
> > POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne marche
> > pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens employaient
> > cette méthode pour cette même équation avec des conditions limites en
> > température!
> >
> > Brice
>
> Oui, mais pas pour des conditions sinusoïdales en t imposées en x=0.
> Dans votre calcul, on voit que pour x=0, on trouve une exponentielle de t et
> non une sinusoïde.
>
> A.J.[/color]

ok!

dans ce cas je fait comment ??
je ne sais plus comment prendre ce problème et pateauge complètement!!!

Merci

Brice

[Anonyme]

"Brice" a écrit dans le message de
news:13172c7.0412030909.3a7653d9@posting.google.com...
> "A.J." wrote in message
news:...[color=green]
> > "Brice" a écrit dans le message de
> > news:13172c7.0412020109.49d1f46@posting.google.com...[color=darkred]
> > > Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis sur une
> > > de ces faces à un flux!
> > >
> > > POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne marche
> > > pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens employaient
> > > cette méthode pour cette même équation avec des conditions limites en
> > > température!
> > >
> > > Brice
> >
> > Oui, mais pas pour des conditions sinusoïdales en t imposées en x=0.
> > Dans votre calcul, on voit que pour x=0, on trouve une exponentielle de[/color][/color]
t et[color=green]
> > non une sinusoïde.
> >
> > A.J.
>
> ok!
>
> dans ce cas je fait comment ??
> je ne sais plus comment prendre ce problème et pateauge complètement!!!
>
> Merci
>
> Brice[/color]

Dans un ancien ouvrage que je retrouve de Vernotte (1956), il traite un
régime permanent d'ondes sinusoïdales qui me semble ressembler au vôtre
(quoiqu'il s'agit d'une température imposée à la frontière plutôt que d'un
flux de chaleur imposé).
Il le traite pour une onde unique, mais comme il s'agit d'une somme de
termes dans le vôtre, il suffit de sommer les solutions sur chaque élément.
Prenons le terme correspondant à j=1, et cherchons une solution de la forme
u(x,t) = f(x)*sin(w*t - k*x)
avec f(0) = q/w, pour :
(du/dt)_0 = q*cos(w*t - k*x)
en supprimant votre constante phi_1 pour alléger.
On a donc :
du(x,t)/dt = w*f(x)*cos(w*t - k*x)
du(x,t)/dx = f '(x)*sin(w*t - k*x) - k*f(x)*cos(w*t - k*x)
d²u(x,t)/dx² = f "(x)*sin(w*t - k*x) - 2k*f '(x)*cos(w*t - k*x) -
k²*f(x)*sin(w*t - k*x)
on cherche f(x) et k de façon que les facteurs en sinus et en cosinus de
l'équation aux dérivées partielles soient chacun nul :
f "(x) - k²*f(x) = 0
et :
w*f(x)/a = - 2*k*f '(x)
on aura à partir de la première :
f(x) = f(0)*exp(-k*x)
avec la seconde :
w*exp(-k*x)/a = 2*k²*exp(-k*x)
soit :
k = (w/(2a))^(1/2)
en fin de compte :
u(x,t) = f(0)*exp(-x*(w/(2a))^(1/2))*sin(w*t - x*(w/(2a))^(1/2))
ce qui se rapproche de votre résultat, avec un sinus au lieu de cosinus, et
un Pi/4 qui n'apparait pas.

Est-ce que cela vous aide ?

Cordialement,
A.J.

[Anonyme]

"A.J." wrote in message news:...
> "Brice" a écrit dans le message de
> news:13172c7.0412030909.3a7653d9@posting.google.com...[color=green]
> > "A.J." wrote in message
> news:...[color=darkred]
> > > "Brice" a écrit dans le message de
> > > news:13172c7.0412020109.49d1f46@posting.google.com...
> > > > Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis sur une
> > > > de ces faces à un flux!
> > > >
> > > > POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne marche
> > > > pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens employaient
> > > > cette méthode pour cette même équation avec des conditions limites en
> > > > température!
> > > >
> > > > Brice
> > >
> > > Oui, mais pas pour des conditions sinusoïdales en t imposées en x=0.
> > > Dans votre calcul, on voit que pour x=0, on trouve une exponentielle de[/color]
> t et[color=darkred]
> > > non une sinusoïde.
> > >
> > > A.J.
> >
> > ok!
> >
> > dans ce cas je fait comment ??
> > je ne sais plus comment prendre ce problème et pateauge complètement!!!
> >
> > Merci
> >
> > Brice[/color]
>
> Dans un ancien ouvrage que je retrouve de Vernotte (1956), il traite un
> régime permanent d'ondes sinusoïdales qui me semble ressembler au vôtre
> (quoiqu'il s'agit d'une température imposée à la frontière plutôt que d'un
> flux de chaleur imposé).
> Il le traite pour une onde unique, mais comme il s'agit d'une somme de
> termes dans le vôtre, il suffit de sommer les solutions sur chaque élément.
> Prenons le terme correspondant à j=1, et cherchons une solution de la forme
> u(x,t) = f(x)*sin(w*t - k*x)
> avec f(0) = q/w, pour :
> (du/dt)_0 = q*cos(w*t - k*x)
> en supprimant votre constante phi_1 pour alléger.
> On a donc :
> du(x,t)/dt = w*f(x)*cos(w*t - k*x)
> du(x,t)/dx = f '(x)*sin(w*t - k*x) - k*f(x)*cos(w*t - k*x)
> d²u(x,t)/dx² = f "(x)*sin(w*t - k*x) - 2k*f '(x)*cos(w*t - k*x) -
> k²*f(x)*sin(w*t - k*x)
> on cherche f(x) et k de façon que les facteurs en sinus et en cosinus de
> l'équation aux dérivées partielles soient chacun nul :
> f "(x) - k²*f(x) = 0
> et :
> w*f(x)/a = - 2*k*f '(x)
> on aura à partir de la première :
> f(x) = f(0)*exp(-k*x)
> avec la seconde :
> w*exp(-k*x)/a = 2*k²*exp(-k*x)
> soit :
> k = (w/(2a))^(1/2)
> en fin de compte :
> u(x,t) = f(0)*exp(-x*(w/(2a))^(1/2))*sin(w*t - x*(w/(2a))^(1/2))
> ce qui se rapproche de votre résultat, avec un sinus au lieu de cosinus, et
> un Pi/4 qui n'apparait pas.
>
> Est-ce que cela vous aide ?
>[/color]

merci pour la réponse!

je suis toujours emme..dé par une constante dans mon flux et aussi par
le fait que la condition limite n'est pas physiquement réaliste: du/dt
à x=0 celà devrait plutôt être du/dx ... (loi de conduction de la
chaleur)

je lâche pas mais il faut que je retrouve le bouquin dans lequel j'ai
trouvé ça et creuse un peu plus...


de plus j'ai l'impression qu'il faut franchement grujer pour trouver
la réponse et que c'est plutôt une solution que l'on trouve par
hasard...

Cordialement

Brice


> Cordialement,
> A.J.

[Anonyme]

"Brice" a écrit dans le message de
news:13172c7.0412050901.50e5fdde@posting.google.com...
> "A.J." wrote in message
news:...[color=green]
> > "Brice" a écrit dans le message de
> > news:13172c7.0412030909.3a7653d9@posting.google.com...[color=darkred]
> > > "A.J." wrote in message
> > news:...
> > > > "Brice" a écrit dans le message de
> > > > news:13172c7.0412020109.49d1f46@posting.google.com...
> > > > > Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis sur[/color][/color]
une[color=green][color=darkred]
> > > > > de ces faces à un flux!
> > > > >
> > > > > POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne[/color][/color]
marche[color=green][color=darkred]
> > > > > pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens[/color][/color]
employaient[color=green][color=darkred]
> > > > > cette méthode pour cette même équation avec des conditions limites[/color][/color]
en[color=green][color=darkred]
> > > > > température![/color][/color]
------------------------------------[color=green]
> > Prenons le terme correspondant à j=1, et cherchons une solution de la[/color]
forme[color=green]
> > u(x,t) = f(x)*sin(w*t - k*x)
> > avec f(0) = q/w, pour :
> > (du/dt)_0 = q*cos(w*t - k*x)[/color]

correction !:
(du/dt)_0 = q*cos(w*t)
ce qui ne change rien à la suite
------------------------------------------------------
Je reviens sur votre méthode de départ :

> Pour redémontrer celà j'ai posé:
>
> u(x,t)=X(x).T(t)
>
> en insérant dans (1) et retravaillant, je trouve:
>
> 1/X(x).d²X/dx² = 1/(a.T(t)).dT/dt == -nu² (ça je crois
> que c'est du classique chacun des membres étant indépendant selon x ou
> t on peut introduire -nu² comme une constante appartenant à R, cette
> constante est négative pour que la solution de T(t) tende vers 0
> lorsque t tend vers l'infini)

Cette hypothèse de T(t) tendant vers t=0 pour t tendant vers l'infini ne
correspond pas à votre donnée en x=0 où le flux ou la température ont une
amplitude constante.
D'autre part, partant d'une condition périodique, il faut trouver une
solution périodique (bien sur amortie et déphasée), ce qui revient à
remplacer votre -nu² par (+/-)k*i, avec i = (-1)^(1/2), de façon à avoir
pour T(t) une solution en exp(i*a*k*t) ou exp(-i*a*k*t).
Pour X(x), cela conduit à (+/-)(k*i)^(1/2) et (+/-)(-k*i)^(1/2)
Avec i^(1/2) = exp(PI*i/4) = (1 + i)/2^(1/2) et (-i)^(1/2) = (1 - i)/2^(1/2)
Et comme la solution ne doit pas donner de terme réel infini, il ne faut
garder que les possiblités :
- (1 + i)*(k/2)^(1/2) et -(1 - i)*(k/2)^(1/2)
D'où la solution générale :
A*exp(-x*(k/2)^(1/2))*exp(i*(a*k*t - x*(k/2)^(1/2)) +
B*exp(-x*(k/2)^(1/2)*exp(i*(-a*k*t + x*(k/2)^(1/2))
On obtient une solution réelle avec A = B.
et k est déterminé par k = w/a
D'où :
u(x,t) = 2*A*exp(-x*(w/(2a))^(1/2))*cos(w*t - x*(w/(2a))^(1/2))
partie de solution pour j=1
Ceci correspond à la solution que vous donnez, avec A_j = T_j, en ajoutant
les constantes phi_j, mais il y a toujours l'introduction incongrue d'un
PI/4

A.J.

[Anonyme]

"A.J." a écrit dans le message de
news:41b48dd8$0$16341$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Brice" a écrit dans le message de
> news:13172c7.0412050901.50e5fdde@posting.google.com...[color=green]
> > "A.J." wrote in message
> news:...[color=darkred]
> > > "Brice" a écrit dans le message de
> > > news:13172c7.0412030909.3a7653d9@posting.google.com...
> > > > "A.J." wrote in message
> > > news:...
> > > > > "Brice" a écrit dans le message de
> > > > > news:13172c7.0412020109.49d1f46@posting.google.com...
> > > > > > Exact c'est bien une équation de conduction dans un mur soumis[/color][/color]
sur
> une[color=green][color=darkred]
> > > > > > de ces faces à un flux!
> > > > > >
> > > > > > POurquoi est-ce que la méthode de séparation des variables ne[/color]
> marche[color=darkred]
> > > > > > pas dans ce cas ? j'ai déjà trouvé des docs où les gens[/color]
> employaient[color=darkred]
> > > > > > cette méthode pour cette même équation avec des conditions[/color][/color]
limites
> en[color=green][color=darkred]
> > > > > > température![/color]
> ------------------------------------[color=darkred]
> > > Prenons le terme correspondant à j=1, et cherchons une solution de la[/color]
> forme[color=darkred]
> > > u(x,t) = f(x)*sin(w*t - k*x)
> > > avec f(0) = q/w, pour :
> > > (du/dt)_0 = q*cos(w*t - k*x)[/color]
>
> correction !:
> (du/dt)_0 = q*cos(w*t)
> ce qui ne change rien à la suite
> ------------------------------------------------------
> Je reviens sur votre méthode de départ :
>
> > Pour redémontrer celà j'ai posé:
> >
> > u(x,t)=X(x).T(t)
> >
> > en insérant dans (1) et retravaillant, je trouve:
> >
> > 1/X(x).d²X/dx² = 1/(a.T(t)).dT/dt == -nu² (ça je crois
> > que c'est du classique chacun des membres étant indépendant selon x ou
> > t on peut introduire -nu² comme une constante appartenant à R, cette
> > constante est négative pour que la solution de T(t) tende vers 0
> > lorsque t tend vers l'infini)
>
> Cette hypothèse de T(t) tendant vers t=0 pour t tendant vers l'infini ne
> correspond pas à votre donnée en x=0 où le flux ou la température ont une
> amplitude constante.
> D'autre part, partant d'une condition périodique, il faut trouver une
> solution périodique (bien sur amortie et déphasée), ce qui revient à
> remplacer votre -nu² par (+/-)k*i, avec i = (-1)^(1/2), de façon à avoir
> pour T(t) une solution en exp(i*a*k*t) ou exp(-i*a*k*t).
> Pour X(x), cela conduit à (+/-)(k*i)^(1/2) et (+/-)(-k*i)^(1/2)
> Avec i^(1/2) = exp(PI*i/4) = (1 + i)/2^(1/2) et (-i)^(1/2) = (1 -[/color]
i)/2^(1/2)
> Et comme la solution ne doit pas donner de terme réel infini, il ne faut
> garder que les possiblités :
> - (1 + i)*(k/2)^(1/2) et -(1 - i)*(k/2)^(1/2)
> D'où la solution générale :
> A*exp(-x*(k/2)^(1/2))*exp(i*(a*k*t - x*(k/2)^(1/2)) +
> B*exp(-x*(k/2)^(1/2)*exp(i*(-a*k*t + x*(k/2)^(1/2))
> On obtient une solution réelle avec A = B.
> et k est déterminé par k = w/a
> D'où :
> u(x,t) = 2*A*exp(-x*(w/(2a))^(1/2))*cos(w*t - x*(w/(2a))^(1/2))
> partie de solution pour j=1
> Ceci correspond à la solution que vous donnez, avec A_j = T_j, en ajoutant
> les constantes phi_j, mais il y a toujours l'introduction incongrue d'un
> PI/4
>
> A.J.
Si, je vois finalement d'où vient le PI/4.
La dérivation de la solution ci-dessus en cosinus, donne un terme en sinus,
qui pour x=0 ne donnera pas la condition donnée en un cosinus.
J'avais dit que pour une solution réelle il fallait A = B.
On a aussi cela avec A = -B, qui donne un sinus.
Si on prend la somme des deux, de la forme :
cos(m) + sin(m)
cela donne aussi :
cos(m - PI/4)*2^(1/2)
d'où l'introduction à faire de PI/4 dans la formule donnée plus haut.

A.J.